Номер 5.57, страница 112 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 5. Электромагнитные колебания. Превращение энергии в колебательном контуре - номер 5.57, страница 112.

Условие.

5.57. Заряд конденсатора колебательного контура уменьшили в 2 раза. Во сколько раз и как изменится:

а) амплитуда колебаний напряжения;

б) амплитуда колебаний силы тока;

в) полная энергия колебательного контура?

Решение.

Дано:

$q_{m1}$ - начальная амплитуда заряда
$q_{m2} = \frac{q_{m1}}{2}$ - конечная амплитуда заряда

Найти:

$\frac{U_{m1}}{U_{m2}}$ - изменение амплитуды напряжения
$\frac{I_{m1}}{I_{m2}}$ - изменение амплитуды силы тока
$\frac{W_1}{W_2}$ - изменение полной энергии

Решение:

а) Амплитуда колебаний напряжения на конденсаторе $U_m$ связана с амплитудой заряда $q_m$ и ёмкостью конденсатора $\text{C}$ соотношением: $U_m = \frac{q_m}{C}$. Так как ёмкость конденсатора $\text{C}$ является постоянной величиной для данного контура, амплитуда напряжения прямо пропорциональна амплитуде заряда. Отношение конечной амплитуды напряжения $U_{m2}$ к начальной $U_{m1}$ равно: $\frac{U_{m2}}{U_{m1}} = \frac{q_{m2}/C}{q_{m1}/C} = \frac{q_{m2}}{q_{m1}}$. По условию задачи, заряд уменьшили в 2 раза, то есть $q_{m2} = \frac{q_{m1}}{2}$. Следовательно: $\frac{U_{m2}}{U_{m1}} = \frac{1}{2}$. Это означает, что амплитуда колебаний напряжения уменьшится в 2 раза.

Ответ: амплитуда колебаний напряжения уменьшится в 2 раза.

б) Полная энергия в колебательном контуре сохраняется и переходит из энергии электрического поля конденсатора в энергию магнитного поля катушки и обратно. Максимальная энергия конденсатора равна максимальной энергии катушки: $W_{E,max} = W_{B,max}$ $\frac{q_m^2}{2C} = \frac{L I_m^2}{2}$, где $\text{L}$ – индуктивность катушки, а $I_m$ – амплитуда колебаний силы тока. Выразим амплитуду силы тока: $I_m^2 = \frac{q_m^2}{LC} \implies I_m = \frac{q_m}{\sqrt{LC}}$. Поскольку $\text{L}$ и $\text{C}$ – постоянные параметры контура, амплитуда силы тока прямо пропорциональна амплитуде заряда. Отношение конечной амплитуды тока $I_{m2}$ к начальной $I_{m1}$ составляет: $\frac{I_{m2}}{I_{m1}} = \frac{q_{m2}/\sqrt{LC}}{q_{m1}/\sqrt{LC}} = \frac{q_{m2}}{q_{m1}} = \frac{1}{2}$. Таким образом, амплитуда колебаний силы тока также уменьшится в 2 раза.

Ответ: амплитуда колебаний силы тока уменьшится в 2 раза.

в) Полная энергия колебательного контура $\text{W}$ в любой момент времени равна сумме энергий электрического и магнитного полей. В момент, когда заряд на конденсаторе максимален ($q = q_m$), ток в катушке равен нулю, и вся энергия сосредоточена в конденсаторе: $W = W_{E,max} = \frac{q_m^2}{2C}$. Полная энергия контура пропорциональна квадрату амплитуды заряда. Найдем отношение конечной энергии $W_2$ к начальной $W_1$: $\frac{W_2}{W_1} = \frac{q_{m2}^2 / (2C)}{q_{m1}^2 / (2C)} = \frac{q_{m2}^2}{q_{m1}^2} = \left(\frac{q_{m2}}{q_{m1}}\right)^2$. Подставив условие $q_{m2} = \frac{q_{m1}}{2}$, получим: $\frac{W_2}{W_1} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$. Следовательно, полная энергия колебательного контура уменьшится в 4 раза.

Ответ: полная энергия колебательного контура уменьшится в 4 раза.