Номер 5.54, страница 112 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 5. Электромагнитные колебания. Превращение энергии в колебательном контуре - номер 5.54, страница 112.

Условие.

5.54. Заряд на обкладках конденсатора колебательного контура изменяется по закону $q = 3 \cdot 10^{-7}\cos 800\pi t$ (Кл). Индуктивность контура 2 Гн. Пренебрегая активным сопротивлением, найдите:

а) ёмкость конденсатора;

б) максимальное значения энергии магнитного поля.

Решение.

Дано:

Закон изменения заряда: $q = 3 \cdot 10^{-7}\cos 800\pi t$ (Кл)

Индуктивность контура: $L = 2$ Гн

Найти:

а) ёмкость конденсатора $\text{C}$

б) максимальное значение энергии магнитного поля $W_{L_{max}}$

Решение:

а) ёмкость конденсатора

Общий вид уравнения колебаний заряда в контуре: $q = q_{max}\cos(\omega t + \phi_0)$, где $q_{max}$ — амплитуда (максимальное значение) заряда, $\omega$ — циклическая частота колебаний.

Сравнивая это уравнение с данным в условии $q = 3 \cdot 10^{-7}\cos 800\pi t$, находим:

Амплитуда заряда: $q_{max} = 3 \cdot 10^{-7}$ Кл.

Циклическая частота: $\omega = 800\pi$ рад/с.

Циклическая частота свободных электромагнитных колебаний в идеальном LC-контуре (без активного сопротивления) определяется формулой Томсона:

$\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$

Возведём обе части уравнения в квадрат, чтобы выразить ёмкость $\text{C}$:

$\omega^2 = \frac{1}{LC}$

$C = \frac{1}{L\omega^2}$

Подставим числовые значения:

$C = \frac{1}{2 \cdot (800\pi)^2} = \frac{1}{2 \cdot 640000 \cdot \pi^2} = \frac{1}{1280000 \pi^2} \approx \frac{1}{1.28 \cdot 10^6 \cdot (3.14)^2} \approx \frac{1}{1.28 \cdot 10^6 \cdot 9.87} \approx \frac{1}{12.63 \cdot 10^6} \approx 0.079 \cdot 10^{-6}$ Ф.

Переведем в нанофарады: $0.079 \cdot 10^{-6}$ Ф $= 79$ нФ.

Ответ: $C \approx 7.9 \cdot 10^{-8}$ Ф (или $\text{79}$ нФ).

б) максимальное значение энергии магнитного поля

В колебательном контуре происходит непрерывное превращение энергии электрического поля конденсатора в энергию магнитного поля катушки индуктивности и обратно. В идеальном контуре полная энергия сохраняется. Максимальная энергия магнитного поля катушки равна максимальной энергии электрического поля конденсатора:

$W_{L_{max}} = W_{E_{max}}$

Максимальную энергию можно вычислить либо через максимальный заряд на конденсаторе, либо через максимальный ток в катушке. Воспользуемся вторым способом. Максимальная энергия магнитного поля определяется по формуле:

$W_{L_{max}} = \frac{LI_{max}^2}{2}$

Сила тока $\text{I}$ является первой производной от заряда $\text{q}$ по времени $\text{t}$:

$I(t) = q'(t) = \frac{d}{dt}(3 \cdot 10^{-7}\cos 800\pi t) = -3 \cdot 10^{-7} \cdot 800\pi \cdot \sin 800\pi t$

Амплитуда силы тока $I_{max}$ — это максимальное значение тока, равное коэффициенту перед синусом:

$I_{max} = 3 \cdot 10^{-7} \cdot 800\pi = 2400\pi \cdot 10^{-7} = 2.4\pi \cdot 10^{-4}$ А.

Теперь можем рассчитать максимальную энергию магнитного поля:

$W_{L_{max}} = \frac{2 \cdot (2.4\pi \cdot 10^{-4})^2}{2} = (2.4\pi \cdot 10^{-4})^2 = 5.76\pi^2 \cdot 10^{-8}$ Дж.

Вычислим приближенное значение:

$W_{L_{max}} \approx 5.76 \cdot (3.14)^2 \cdot 10^{-8} \approx 5.76 \cdot 9.87 \cdot 10^{-8} \approx 56.85 \cdot 10^{-8} \approx 5.7 \cdot 10^{-7}$ Дж.

Проверка через максимальную энергию конденсатора:

$W_{E_{max}} = \frac{q_{max}^2}{2C} = \frac{(3 \cdot 10^{-7})^2}{2 \cdot 7.9 \cdot 10^{-8}} = \frac{9 \cdot 10^{-14}}{15.8 \cdot 10^{-8}} \approx 0.57 \cdot 10^{-6} = 5.7 \cdot 10^{-7}$ Дж. Результаты совпадают.

Ответ: $W_{L_{max}} = 5.76\pi^2 \cdot 10^{-8}$ Дж $\approx 5.7 \cdot 10^{-7}$ Дж.