Номер 5.55, страница 112 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 5. Электромагнитные колебания. Превращение энергии в колебательном контуре - номер 5.55, страница 112.

Условие.

5.55. Заряд на обкладках конденсатора колебательного контура изменяется по закону $q = 10^{-4}\cos (2 \cdot 10^3 t)$ (Кл). Ёмкость конденсатора $10^{-4}$ Ф. Найдите:

a) индуктивность контура;

б) максимальное значение энергии электрического поля.

Решение.

Дано:

Закон изменения заряда: $q(t) = 10^{-4}\cos(2 \cdot 10^3 t)$ Кл

Емкость конденсатора: $C = 10^{-4}$ Ф

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

а) $\text{L}$ - индуктивность контура

б) $W_{E_{max}}$ - максимальное значение энергии электрического поля

Решение:

Уравнение колебаний заряда в колебательном контуре в общем виде записывается как $q(t) = q_{max}\cos(\omega t + \phi_0)$, где $q_{max}$ — амплитуда (максимальное значение) заряда, $\omega$ — циклическая частота.

Сравнивая это уравнение с заданным в условии $q(t) = 10^{-4}\cos(2 \cdot 10^3 t)$, мы можем определить следующие параметры:

Амплитуда заряда: $q_{max} = 10^{-4}$ Кл.

Циклическая частота колебаний: $\omega = 2 \cdot 10^3$ рад/с.

а) индуктивность контура

Циклическая частота свободных электромагнитных колебаний в идеальном колебательном контуре связана с индуктивностью $\text{L}$ и емкостью $\text{C}$ контура формулой Томсона:

$\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$

Чтобы найти индуктивность $\text{L}$, выразим ее из этой формулы. Для этого возведем обе части уравнения в квадрат:

$\omega^2 = \frac{1}{LC}$

Отсюда индуктивность $\text{L}$ равна:

$L = \frac{1}{\omega^2 C}$

Теперь подставим числовые значения:

$L = \frac{1}{(2 \cdot 10^3 \text{ рад/с})^2 \cdot 10^{-4} \text{ Ф}} = \frac{1}{4 \cdot 10^6 \text{ рад}^2/\text{с}^2 \cdot 10^{-4} \text{ Ф}} = \frac{1}{4 \cdot 10^2 \text{ Гн}^{-1}} = \frac{1}{400} \text{ Гн} = 0.0025 \text{ Гн}$

Это значение также можно записать как $2.5$ мГн.

Ответ: индуктивность контура равна $0.0025$ Гн.

б) максимальное значение энергии электрического поля

Энергия электрического поля, запасенная в конденсаторе, вычисляется по формуле:

$W_E = \frac{q^2}{2C}$

Энергия электрического поля будет максимальной ($W_{E_{max}}$), когда заряд на обкладках конденсатора достигнет своего максимального (амплитудного) значения $q_{max}$.

$W_{E_{max}} = \frac{q_{max}^2}{2C}$

Подставим известные значения $q_{max}$ и $\text{C}$:

$W_{E_{max}} = \frac{(10^{-4} \text{ Кл})^2}{2 \cdot 10^{-4} \text{ Ф}} = \frac{10^{-8} \text{ Кл}^2}{2 \cdot 10^{-4} \text{ Ф}} = 0.5 \cdot 10^{-4} \text{ Дж} = 5 \cdot 10^{-5} \text{ Дж}$

Это значение также можно записать как $\text{50}$ мкДж.

Ответ: максимальное значение энергии электрического поля равно $5 \cdot 10^{-5}$ Дж.