Номер 5.58, страница 112 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 5. Электромагнитные колебания. Превращение энергии в колебательном контуре - номер 5.58, страница 112.

Условие.

5.58. При увеличении амплитуды колебаний напряжения на конденсаторе колебательного контура на 20 В амплитуда колебаний силы тока увеличилась в 2 раза. Найдите начальное напряжение на конденсаторе.

Решение.

Дано:

$\Delta U_m = 20 \text{ В}$

$\frac{I_{m2}}{I_{m1}} = 2$

Найти:

$U_{m1}$ - ?

Решение:

В идеальном колебательном контуре (без потерь энергии) полная энергия сохраняется. Это означает, что максимальная энергия электрического поля конденсатора равна максимальной энергии магнитного поля катушки индуктивности:

$W_{C,max} = W_{L,max}$

Максимальная энергия конденсатора и катушки выражаются формулами:

$W_{C,max} = \frac{C U_m^2}{2}$

$W_{L,max} = \frac{L I_m^2}{2}$

где $\text{C}$ - электроёмкость конденсатора, $\text{L}$ - индуктивность катушки, $U_m$ - амплитуда колебаний напряжения, а $I_m$ - амплитуда колебаний силы тока.

Приравнивая максимальные энергии, получаем:

$\frac{C U_m^2}{2} = \frac{L I_m^2}{2}$

Отсюда можно выразить зависимость между амплитудой тока и амплитудой напряжения:

$I_m^2 = \frac{C}{L} U_m^2$

$I_m = U_m \sqrt{\frac{C}{L}}$

Из этой формулы следует, что амплитуда силы тока $I_m$ прямо пропорциональна амплитуде напряжения $U_m$.

Обозначим начальные значения амплитуд напряжения и тока как $U_{m1}$ и $I_{m1}$, а конечные значения (после увеличения) как $U_{m2}$ и $I_{m2}$.

Запишем соотношения для начального и конечного состояний:

$I_{m1} = U_{m1} \sqrt{\frac{C}{L}} \quad (1)$

$I_{m2} = U_{m2} \sqrt{\frac{C}{L}} \quad (2)$

Согласно условию задачи:

Амплитуда напряжения увеличилась на 20 В: $U_{m2} = U_{m1} + 20 \text{ В}$.

Амплитуда силы тока увеличилась в 2 раза: $I_{m2} = 2 I_{m1}$.

Подставим эти условия в уравнение (2):

$2 I_{m1} = (U_{m1} + 20) \sqrt{\frac{C}{L}} \quad (3)$

Теперь разделим уравнение (3) на уравнение (1). Это позволит нам избавиться от неизвестных величин $I_{m1}$, $\text{C}$ и $\text{L}$.

$\frac{2 I_{m1}}{I_{m1}} = \frac{(U_{m1} + 20) \sqrt{\frac{C}{L}}}{U_{m1} \sqrt{\frac{C}{L}}}$

Сокращаем одинаковые множители в левой и правой частях уравнения:

$2 = \frac{U_{m1} + 20}{U_{m1}}$

Теперь решим полученное уравнение относительно $U_{m1}$:

$2 U_{m1} = U_{m1} + 20$

$2 U_{m1} - U_{m1} = 20$

$U_{m1} = 20 \text{ В}$

Ответ: начальное напряжение на конденсаторе равно 20 В.