Номер 5.61, страница 112 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 5. Электромагнитные колебания. Превращение энергии в колебательном контуре - номер 5.61, страница 112.

Условие.

5.61. Амплитуда колебаний силы тока в колебательном контуре 1,4 мА, а амплитуда колебаний напряжения 280 В. Найдите силу тока и напряжение в тот момент времени, когда энергия магнитного поля катушки равна энергии электрического поля конденсатора.

Решение.

Дано:
Амплитуда колебаний силы тока $I_m = 1,4 \text{ мА}$
Амплитуда колебаний напряжения $U_m = 280 \text{ В}$
В некоторый момент времени энергия магнитного поля равна энергии электрического поля $W_L = W_C$.

$I_m = 1,4 \text{ мА} = 1,4 \cdot 10^{-3} \text{ А}$

Найти:
Мгновенное значение силы тока $\text{i}$ - ?
Мгновенное значение напряжения $\text{u}$ - ?

Решение:

Полная энергия $\text{W}$ в идеальном колебательном контуре сохраняется и в любой момент времени равна сумме энергии магнитного поля катушки $W_L$ и энергии электрического поля конденсатора $W_C$:

$W = W_L + W_C$

Энергия магнитного поля определяется как $W_L = \frac{L i^2}{2}$, а энергия электрического поля — $W_C = \frac{C u^2}{2}$, где $\text{i}$ и $\text{u}$ — мгновенные значения силы тока и напряжения, а $\text{L}$ и $\text{C}$ — индуктивность катушки и ёмкость конденсатора соответственно.

Полная энергия контура также может быть выражена через амплитудные (максимальные) значения силы тока $I_m$ и напряжения $U_m$:

$W = \frac{L I_m^2}{2} = \frac{C U_m^2}{2}$

Согласно условию задачи, мы рассматриваем момент времени, когда энергия магнитного поля равна энергии электрического поля:

$W_L = W_C$

В этот момент полная энергия контура составляет:

$W = W_L + W_C = 2W_L = 2W_C$

Отсюда следует, что в данный момент времени энергия магнитного поля и энергия электрического поля составляют половину от полной (максимальной) энергии контура:

$W_L = \frac{W}{2}$ и $W_C = \frac{W}{2}$

Найдем мгновенную силу тока $\text{i}$. Для этого приравняем выражения для энергии магнитного поля в данный момент и половины полной энергии:

$\frac{L i^2}{2} = \frac{1}{2} \left( \frac{L I_m^2}{2} \right)$

Сократив обе части на $L/2$, получим:

$i^2 = \frac{I_m^2}{2}$

Извлекая квадратный корень, находим модуль мгновенной силы тока:

$i = \frac{I_m}{\sqrt{2}}$

Подставим числовое значение амплитуды тока:

$i = \frac{1,4 \text{ мА}}{\sqrt{2}} \approx 0,9899 \text{ мА} \approx 0,99 \text{ мА}$

Аналогично найдем мгновенное напряжение $\text{u}$. Приравняем выражения для энергии электрического поля в данный момент и половины полной энергии:

$\frac{C u^2}{2} = \frac{1}{2} \left( \frac{C U_m^2}{2} \right)$

Сократив обе части на $C/2$, получим:

$u^2 = \frac{U_m^2}{2}$

Извлекая квадратный корень, находим модуль мгновенного напряжения:

$u = \frac{U_m}{\sqrt{2}}$

Подставим числовое значение амплитуды напряжения:

$u = \frac{280 \text{ В}}{\sqrt{2}} \approx 197,99 \text{ В} \approx 198 \text{ В}$

Ответ: в момент времени, когда энергия магнитного поля катушки равна энергии электрического поля конденсатора, сила тока составляет примерно $0,99 \text{ мА}$, а напряжение — примерно $198 \text{ В}$.