Номер 5.74, страница 115 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 5. Электромагнитные колебания. Превращение энергии в колебательном контуре - номер 5.74, страница 115.

Условие.

5.74* Определите период свободных колебаний в контуре, состоящем из конденсатора ёмкостью $0,064 \, \text{мкФ}$, катушки индуктивностью $0,18 \, \text{мГн}$ и активным сопротивлением $50 \, \text{Ом}$.

Решение.

Дано:

Ёмкость конденсатора, $C = 0,064 \text{ мкФ}$

Индуктивность катушки, $L = 0,18 \text{ мГн}$

Активное сопротивление, $R = 50 \text{ Ом}$

Перевод в систему СИ:

$C = 0,064 \times 10^{-6} \text{ Ф} = 6,4 \times 10^{-8} \text{ Ф}$

$L = 0,18 \times 10^{-3} \text{ Гн} = 1,8 \times 10^{-4} \text{ Гн}$

Найти:

Период свободных колебаний, $T - ?$

Решение:

В данном колебательном контуре присутствует активное сопротивление $\text{R}$, следовательно, свободные колебания являются затухающими. Период затухающих колебаний определяется через циклическую частоту затухающих колебаний $\omega$.

Циклическая частота затухающих колебаний $\omega$ находится по формуле:

$\omega = \sqrt{\omega_0^2 - \delta^2} = \sqrt{\frac{1}{LC} - \left(\frac{R}{2L}\right)^2}$

где $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ – собственная циклическая частота контура (без затухания), а $\delta = \frac{R}{2L}$ – коэффициент затухания.

Период колебаний $\text{T}$ связан с циклической частотой $\omega$ соотношением:

$T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{\sqrt{\frac{1}{LC} - \frac{R^2}{4L^2}}}$

Колебания в контуре возможны только при условии, что выражение под корнем положительно, то есть $\frac{1}{LC} > \frac{R^2}{4L^2}$ или $R < 2\sqrt{\frac{L}{C}}$. Проверим это условие:

$2\sqrt{\frac{L}{C}} = 2\sqrt{\frac{1,8 \times 10^{-4} \text{ Гн}}{6,4 \times 10^{-8} \text{ Ф}}} = 2\sqrt{0,28125 \times 10^4} = 2\sqrt{2812,5} \approx 2 \times 53,03 \approx 106,1 \text{ Ом}$

Так как $R = 50 \text{ Ом} < 106,1 \text{ Ом}$, колебательный процесс в контуре возможен.

Вычислим значения величин, входящих в формулу для периода:

$\frac{1}{LC} = \frac{1}{(1,8 \times 10^{-4} \text{ Гн}) \times (6,4 \times 10^{-8} \text{ Ф})} = \frac{1}{11,52 \times 10^{-12} \text{ с}^2} \approx 8,68 \times 10^{10} \text{ с}^{-2}$

$\frac{R^2}{4L^2} = \left(\frac{R}{2L}\right)^2 = \left(\frac{50 \text{ Ом}}{2 \times 1,8 \times 10^{-4} \text{ Гн}}\right)^2 = \left(\frac{50}{3,6 \times 10^{-4}}\right)^2 \text{ с}^{-2} \approx (1,389 \times 10^5)^2 \text{ с}^{-2} \approx 1,93 \times 10^{10} \text{ с}^{-2}$

Теперь найдем циклическую частоту $\omega$:

$\omega = \sqrt{8,68 \times 10^{10} \text{ с}^{-2} - 1,93 \times 10^{10} \text{ с}^{-2}} = \sqrt{6,75 \times 10^{10} \text{ с}^{-2}} \approx 2,60 \times 10^5 \text{ рад/с}$

Наконец, определим период свободных колебаний $\text{T}$:

$T = \frac{2\pi}{\omega} \approx \frac{2 \times 3,1416}{2,60 \times 10^5 \text{ рад/с}} \approx 2,42 \times 10^{-5} \text{ с}$

Ответ можно выразить в микросекундах: $2,42 \times 10^{-5} \text{ с} = 24,2 \text{ мкс}$.

Ответ: $T \approx 2,42 \times 10^{-5} \text{ с}$.