Номер 8.108, страница 193 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 8. Волновая оптика. Дисперсия и рассеяние света - номер 8.108, страница 193.

Условие.

8.108. Найдите главное фокусное расстояние кварцевой линзы для ультрафиолетовой линии спектра ртути ($\lambda = 259$ нм), если главное фокусное расстояние для жёлтой линии натрия ($\lambda = 589$ нм) равно 16 см. Показатели преломления кварца для этих длин волн равны соответственно 1,504 и 1,458.

Решение.

Дано

Длина волны ультрафиолетовой линии ртути: $ \lambda_1 = 259 \text{ нм} $

Показатель преломления кварца для $ \lambda_1 $: $ n_1 = 1.504 $

Длина волны жёлтой линии натрия: $ \lambda_2 = 589 \text{ нм} $

Главное фокусное расстояние для $ \lambda_2 $: $ f_2 = 16 \text{ см} $

Показатель преломления кварца для $ \lambda_2 $: $ n_2 = 1.458 $

Перевод в систему СИ:

$ f_2 = 16 \text{ см} = 0.16 \text{ м} $

Найти:

Главное фокусное расстояние для ультрафиолетовой линии, $ f_1 $.

Решение

Оптическая сила линзы $ D $, а следовательно, и ее фокусное расстояние $ f $, зависят от показателя преломления материала линзы $ n $ и радиусов кривизны ее поверхностей $ R_1 $ и $ R_2 $. Эта зависимость выражается формулой для тонкой линзы (формулой шлифовщика линз):

$ \frac{1}{f} = (n - 1) \left(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}\right) $

В этой задаче геометрические параметры линзы (радиусы кривизны $ R_1 $ и $ R_2 $) остаются неизменными. Следовательно, выражение $ \left(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}\right) $ является постоянной величиной. Обозначим эту константу как $ C $.

Запишем формулу для двух случаев:

1. Для ультрафиолетовой линии ртути:

$ \frac{1}{f_1} = (n_1 - 1) C $

2. Для жёлтой линии натрия:

$ \frac{1}{f_2} = (n_2 - 1) C $

Поделим первое уравнение на второе, чтобы исключить неизвестную константу $ C $:

$ \frac{1/f_1}{1/f_2} = \frac{(n_1 - 1) C}{(n_2 - 1) C} $

Упростив, получаем соотношение:

$ \frac{f_2}{f_1} = \frac{n_1 - 1}{n_2 - 1} $

Отсюда выразим искомое фокусное расстояние $ f_1 $:

$ f_1 = f_2 \cdot \frac{n_2 - 1}{n_1 - 1} $

Теперь подставим числовые значения из условия задачи:

$ f_1 = 16 \text{ см} \cdot \frac{1.458 - 1}{1.504 - 1} $

$ f_1 = 16 \cdot \frac{0.458}{0.504} $

$ f_1 \approx 16 \cdot 0.90873 \approx 14.539 \text{ см} $

Округлим результат до трёх значащих цифр.

$ f_1 \approx 14.5 \text{ см} $

Ответ: главное фокусное расстояние кварцевой линзы для ультрафиолетовой линии спектра ртути равно приблизительно $ 14.5 \text{ см} $.