Номер 8.106, страница 193 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 8. Волновая оптика. Дисперсия и рассеяние света - номер 8.106, страница 193.

Условие.

8.106. Луч белого света падает на боковую поверхность равнобедренной призмы под таким углом, что красный луч выходит из неё перпендикулярно второй грани. Найдите углы отклонения красного и фиолетового лучей от первоначального направления, если преломляющий угол призмы равен $45^\circ$. Показатели преломления материала призмы для красного и фиолетового лучей равны соответственно 1,37 и 1,42.

Решение.

Дано:

Преломляющий угол призмы, $A = 45^\circ$.

Показатель преломления для красного луча, $n_к = 1.37$.

Показатель преломления для фиолетового луча, $n_ф = 1.42$.

Красный луч выходит из призмы перпендикулярно второй грани.

Показатель преломления воздуха, $n_0 = 1$.

Найти:

Угол отклонения красного луча, $\delta_к$.

Угол отклонения фиолетового луча, $\delta_ф$.

Решение:

Угол отклонения луча, прошедшего через призму, определяется общей формулой: $\delta = \alpha_1 + \alpha_2 - A$, где $\alpha_1$ – угол падения на первую грань, $\alpha_2$ – угол выхода из второй грани, $\text{A}$ – преломляющий угол призмы. Углы распространения луча внутри призмы связаны с преломляющим углом соотношением $A = \beta_1 + \beta_2$, где $\beta_1$ – угол преломления на первой грани, а $\beta_2$ – угол падения на вторую грань (изнутри). Для преломления на границах раздела сред используется закон Снеллиуса: $n_1 \sin \theta_1 = n_2 \sin \theta_2$.

Угол отклонения красного луча

По условию задачи, красный луч выходит из призмы перпендикулярно второй грани. Это означает, что угол выхода для красного луча (угол между выходящим лучом и нормалью к грани) равен нулю: $\alpha_{2к} = 0^\circ$.

Применим закон преломления Снеллиуса для второй грани: $n_к \sin \beta_{2к} = n_0 \sin \alpha_{2к}$.

Поскольку $\sin \alpha_{2к} = \sin 0^\circ = 0$, то и $n_к \sin \beta_{2к} = 0$, следовательно, $\sin \beta_{2к} = 0$, и угол падения на вторую грань изнутри призмы также равен нулю: $\beta_{2к} = 0^\circ$.

Найдем угол преломления на первой грани $\beta_{1к}$ из геометрического соотношения для призмы: $A = \beta_{1к} + \beta_{2к}$.

$\beta_{1к} = A - \beta_{2к} = 45^\circ - 0^\circ = 45^\circ$.

Теперь, используя закон Снеллиуса для первой грани, найдем угол падения белого света на призму $\alpha_1$. Этот угол одинаков для всех цветовых компонент луча.

$n_0 \sin \alpha_1 = n_к \sin \beta_{1к}$

$\sin \alpha_1 = 1.37 \cdot \sin 45^\circ = 1.37 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 1.37 \cdot 0.7071 \approx 0.9687$

$\alpha_1 = \arcsin(0.9687) \approx 75.63^\circ$.

Теперь можем найти угол отклонения для красного луча:

$\delta_к = \alpha_1 + \alpha_{2к} - A \approx 75.63^\circ + 0^\circ - 45^\circ = 30.63^\circ$.

Ответ: Угол отклонения красного луча $\delta_к \approx 30.6^\circ$.

Угол отклонения фиолетового луча

Угол падения $\alpha_1 \approx 75.63^\circ$ для фиолетового луча такой же, как и для красного.

Найдем угол преломления фиолетового луча на первой грани $\beta_{1ф}$, используя закон Снеллиуса:

$n_0 \sin \alpha_1 = n_ф \sin \beta_{1ф}$

Мы знаем, что $\sin \alpha_1 = n_к \sin \beta_{1к}$, поэтому можем написать:

$n_к \sin \beta_{1к} = n_ф \sin \beta_{1ф}$

$1.37 \cdot \sin 45^\circ = 1.42 \cdot \sin \beta_{1ф}$

$\sin \beta_{1ф} = \frac{1.37}{1.42} \sin 45^\circ \approx \frac{1.37 \cdot 0.7071}{1.42} \approx 0.6822$

$\beta_{1ф} = \arcsin(0.6822) \approx 43.02^\circ$.

Найдем угол падения фиолетового луча на вторую грань $\beta_{2ф}$:

$\beta_{2ф} = A - \beta_{1ф} \approx 45^\circ - 43.02^\circ = 1.98^\circ$.

Найдем угол выхода фиолетового луча из призмы $\alpha_{2ф}$ по закону Снеллиуса для второй грани:

$n_ф \sin \beta_{2ф} = n_0 \sin \alpha_{2ф}$

$\sin \alpha_{2ф} = 1.42 \cdot \sin 1.98^\circ \approx 1.42 \cdot 0.03456 \approx 0.0491$

$\alpha_{2ф} = \arcsin(0.0491) \approx 2.81^\circ$.

Теперь вычислим угол отклонения для фиолетового луча:

$\delta_ф = \alpha_1 + \alpha_{2ф} - A \approx 75.63^\circ + 2.81^\circ - 45^\circ = 33.44^\circ$.

Ответ: Угол отклонения фиолетового луча $\delta_ф \approx 33.4^\circ$.