Номер 9.2, страница 195 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 9. Элементы специальной теории относительности. Относительность расстояний и промежутков времени. Сложение скоростей - номер 9.2, страница 195.

Условие.

9.2. Свет от неподвижного источника па-$ \vec{u} $дает перпендикулярно поверхности зеркала, которое удаляется от источника со скоростью $\text{u}$ (рис. 9.1). Найдите скорость отражённого света в системе отсчёта, связанной:

a) с зеркалом;

б) с источником.

Рис. 9.1

Решение.

Дано:

$\text{c}$ - скорость света в вакууме.

$\text{u}$ - скорость, с которой зеркало удаляется от неподвижного источника.

Найти:

$v_{отр}$ - скорость отражённого света в системе отсчёта, связанной:

а) с зеркалом;

б) с источником.

Решение:

Данная задача решается в рамках специальной теории относительности (СТО). Ключевым принципом для решения является второй постулат СТО, который гласит, что скорость света в вакууме одинакова во всех инерциальных системах отсчёта и не зависит от скорости движения источника или наблюдателя. И система отсчёта, связанная с неподвижным источником, и система отсчёта, связанная с зеркалом, движущимся с постоянной скоростью $\text{u}$, являются инерциальными.

а) с зеркалом

Система отсчёта, связанная с зеркалом, является инерциальной. Согласно второму постулату СТО, любой наблюдатель в инерциальной системе отсчёта измерит скорость света в вакууме как $\text{c}$. Отражённый от зеркала свет является светом, распространяющимся в вакууме. Следовательно, для наблюдателя, находящегося в системе отсчёта зеркала, скорость отражённого света будет равна $\text{c}$.

Ответ: Скорость отражённого света в системе отсчёта, связанной с зеркалом, равна $\text{c}$.

б) с источником

Система отсчёта, связанная с источником, также является инерциальной, поскольку источник по условию неподвижен. В соответствии со вторым постулатом СТО, скорость отражённого света, измеренная в этой системе отсчёта, также должна быть равна $\text{c}$.

Этот вывод можно также строго доказать с помощью релятивистского закона сложения скоростей. Пусть система отсчёта K связана с источником. Согласно рисунку, направим ось X вправо (от зеркала к источнику). Зеркало удаляется от источника, двигаясь влево, следовательно, его скорость в системе K равна $V = -u$.

Свяжем с зеркалом систему отсчёта K', которая движется относительно K со скоростью $V = -u$. В системе K' (в которой зеркало покоится) отражённый свет движется от зеркала к источнику, то есть в положительном направлении оси X'. Согласно постулату СТО, скорость света в этой системе равна $\text{c}$. Таким образом, проекция скорости отражённого света на ось X' равна $v'_x = c$.

Для нахождения скорости отражённого света $v_x$ в системе K (системе источника) применим релятивистскую формулу сложения скоростей:

$v_x = \frac{v'_x + V}{1 + \frac{V v'_x}{c^2}}$

Подставим в формулу значения $v'_x = c$ и $V = -u$:

$v_x = \frac{c + (-u)}{1 + \frac{(-u) c}{c^2}} = \frac{c - u}{1 - \frac{u}{c}}$

Преобразуем выражение, вынеся $\text{c}$ в числителе за скобки:

$v_x = \frac{c(1 - \frac{u}{c})}{1 - \frac{u}{c}} = c$

Таким образом, скорость отражённого света, измеренная в системе отсчёта неподвижного источника, в точности равна $\text{c}$. Это подтверждает прямое следствие из постулата теории относительности.

Ответ: Скорость отражённого света в системе отсчёта, связанной с источником, равна $\text{c}$.