Номер 9.4, страница 195 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 9. Элементы специальной теории относительности. Относительность расстояний и промежутков времени. Сложение скоростей - номер 9.4, страница 195.

Условие.

9.4. При какой скорости $\text{u}$ подвижной лаборатории (рис. 9.2) нельзя обнаружить релятивистское сокращение длины стержня, если мы можем измерить её с точностью $\Delta l$? Собственная длина стержня $l_0$.

Рис. 9.2

Решение.

Дано:

Собственная длина стержня: $l_0$

Точность измерения длины: $\Delta l$

Скорость света: $\text{c}$

Найти:

Скорость $\text{u}$, при которой релятивистское сокращение длины нельзя обнаружить.

Решение:

Согласно специальной теории относительности, длина объекта, движущегося со скоростью $\text{u}$ относительно наблюдателя, кажется короче, чем его собственная длина (длина в системе отсчета, где объект покоится). Это явление называется релятивистским (или лоренцевым) сокращением длины и описывается формулой:

$l = l_0 \sqrt{1 - \frac{u^2}{c^2}}$

где $\text{l}$ — длина стержня в системе отсчета наблюдателя, $l_0$ — собственная длина стержня, $\text{u}$ — скорость движения стержня, $\text{c}$ — скорость света в вакууме.

Величина, на которую сокращается длина стержня, равна:

$\Delta L = l_0 - l = l_0 - l_0 \sqrt{1 - \frac{u^2}{c^2}} = l_0 \left(1 - \sqrt{1 - \frac{u^2}{c^2}}\right)$

По условию задачи, мы не можем обнаружить это сокращение, если его величина меньше или равна точности наших измерений $\Delta l$. Математически это условие записывается как:

$\Delta L \le \Delta l$

Подставим в это неравенство выражение для $\Delta L$:

$l_0 \left(1 - \sqrt{1 - \frac{u^2}{c^2}}\right) \le \Delta l$

Теперь решим это неравенство относительно скорости $\text{u}$.

Разделим обе части на $l_0$:

$1 - \sqrt{1 - \frac{u^2}{c^2}} \le \frac{\Delta l}{l_0}$

Перенесем единицу и сменим знаки:

$1 - \frac{\Delta l}{l_0} \le \sqrt{1 - \frac{u^2}{c^2}}$

Возведем обе части неравенства в квадрат. Поскольку обе части являются неотрицательными (предполагается, что точность измерения $\Delta l$ не превышает саму измеряемую величину $l_0$), знак неравенства не изменится:

$\left(1 - \frac{\Delta l}{l_0}\right)^2 \le 1 - \frac{u^2}{c^2}$

Выразим $\frac{u^2}{c^2}$:

$\frac{u^2}{c^2} \le 1 - \left(1 - \frac{\Delta l}{l_0}\right)^2$

Раскроем квадрат разности в правой части:

$\frac{u^2}{c^2} \le 1 - \left(1 - 2\frac{\Delta l}{l_0} + \left(\frac{\Delta l}{l_0}\right)^2\right)$

$\frac{u^2}{c^2} \le 1 - 1 + 2\frac{\Delta l}{l_0} - \left(\frac{\Delta l}{l_0}\right)^2$

$\frac{u^2}{c^2} \le 2\frac{\Delta l}{l_0} - \left(\frac{\Delta l}{l_0}\right)^2$

Извлекая квадратный корень, находим искомую скорость $\text{u}$:

$u \le c \sqrt{2\frac{\Delta l}{l_0} - \left(\frac{\Delta l}{l_0}\right)^2}$

Так как точность измерения $\Delta l$ обычно много меньше измеряемой длины $l_0$, то отношение $\frac{\Delta l}{l_0} \ll 1$. В этом случае, член $\left(\frac{\Delta l}{l_0}\right)^2$ будет пренебрежимо мал по сравнению с $2\frac{\Delta l}{l_0}$. Тогда можно использовать приближенную формулу:

$\frac{u^2}{c^2} \le 2\frac{\Delta l}{l_0}$

$u \le c \sqrt{2\frac{\Delta l}{l_0}}$

Таким образом, релятивистское сокращение длины нельзя будет обнаружить, если скорость подвижной лаборатории не превышает найденного значения.

Ответ:

Релятивистское сокращение длины стержня нельзя обнаружить при скоростях $\text{u}$, удовлетворяющих условию $u \le c \sqrt{2\frac{\Delta l}{l_0} - \left(\frac{\Delta l}{l_0}\right)^2}$. При условии малой точности измерения по сравнению с длиной стержня ($\Delta l \ll l_0$), это выражение упрощается до $u \le c \sqrt{2\frac{\Delta l}{l_0}}$.