Номер 9.10, страница 196 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 9. Элементы специальной теории относительности. Относительность расстояний и промежутков времени. Сложение скоростей - номер 9.10, страница 196.

Условие.

9.10. С какой скоростью должен двигаться космический корабль относительно Земли, чтобы часы на нём шли в 2 раза медленнее, чем на Земле?

Решение.

Дано:

Отношение промежутков времени $ \frac{\Delta t}{\Delta t_0} = 2 $.

Скорость света в вакууме $ c \approx 3 \cdot 10^8 $ м/с.

Найти:

$ v $ - скорость космического корабля.

Решение:

Эффект замедления времени в движущейся системе отсчета описывается формулой из специальной теории относительности:

$ \Delta t = \frac{\Delta t_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} $

где $ \Delta t $ — промежуток времени, измеренный наблюдателем в неподвижной системе отсчета (на Земле), $ \Delta t_0 $ — собственный промежуток времени, измеренный в движущейся системе отсчета (на корабле), $ v $ — скорость корабля относительно Земли, $ c $ — скорость света.

Согласно условию, часы на корабле идут в 2 раза медленнее, чем на Земле. Это означает, что за время $ \Delta t $, прошедшее на Земле, на корабле пройдет вдвое меньшее время $ \Delta t_0 $. Следовательно, соотношение между промежутками времени равно $ \Delta t = 2 \Delta t_0 $.

Подставим это соотношение в формулу замедления времени:

$ 2 \Delta t_0 = \frac{\Delta t_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} $

Разделим обе части уравнения на $ \Delta t_0 $:

$ 2 = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} $

Выразим знаменатель:

$ \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} = \frac{1}{2} $

Чтобы избавиться от квадратного корня, возведем обе части уравнения в квадрат:

$ \left(\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}\right)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 $

$ 1 - \frac{v^2}{c^2} = \frac{1}{4} $

Теперь выразим отношение $ \frac{v^2}{c^2} $:

$ \frac{v^2}{c^2} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} $

Извлечем квадратный корень, чтобы найти скорость $ v $:

$ v = \sqrt{\frac{3}{4}c^2} = \frac{\sqrt{3}}{2}c $

Подставим числовое значение скорости света $ c $:

$ v = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (3 \cdot 10^8 \text{ м/с}) \approx 0.866 \cdot (3 \cdot 10^8 \text{ м/с}) \approx 2.598 \cdot 10^8 \text{ м/с} $

Округлим результат до двух значащих цифр.

Ответ: чтобы часы на космическом корабле шли в 2 раза медленнее, он должен двигаться со скоростью $ v = \frac{\sqrt{3}}{2}c \approx 2.6 \cdot 10^8 $ м/с.