Номер 9.13, страница 196 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 9. Элементы специальной теории относительности. Относительность расстояний и промежутков времени. Сложение скоростей - номер 9.13, страница 196.

Условие.

9.13*. С какой скоростью движется нестабильная частица, если собственное время жизни частицы отличается на 1% от времени жизни по часам неподвижного наблюдателя?

Решение.

Дано:

Пусть $ \Delta t_0 $ — собственное время жизни частицы.

Пусть $ \Delta t $ — время жизни частицы по часам неподвижного наблюдателя.

Из условия задачи, собственное время жизни отличается на 1% от времени жизни по часам наблюдателя. Поскольку время в движущейся системе отсчета всегда течет медленнее, собственное время жизни меньше, чем время по часам наблюдателя.

$ \frac{\Delta t - \Delta t_0}{\Delta t} = 0.01 $

Отсюда $ 1 - \frac{\Delta t_0}{\Delta t} = 0.01 $, следовательно, $ \frac{\Delta t_0}{\Delta t} = 0.99 $.

Скорость света в вакууме $ c \approx 3 \cdot 10^8 $ м/с.

Найти:

$ v $ — скорость частицы.

Решение:

Согласно специальной теории относительности, время жизни частицы, измеренное неподвижным наблюдателем ($ \Delta t $), связано с собственным временем жизни частицы ($ \Delta t_0 $) через релятивистское замедление времени:

$ \Delta t = \frac{\Delta t_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} $

где $ v $ — скорость частицы, а $ c $ — скорость света.

Выразим из этой формулы отношение $ \frac{\Delta t_0}{\Delta t} $:

$ \frac{\Delta t_0}{\Delta t} = \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} $

Из условия задачи мы знаем, что $ \frac{\Delta t_0}{\Delta t} = 0.99 $. Подставим это значение в уравнение:

$ 0.99 = \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} $

Чтобы найти скорость $ v $, возведем обе части уравнения в квадрат:

$ (0.99)^2 = 1 - \frac{v^2}{c^2} $

$ 0.9801 = 1 - \frac{v^2}{c^2} $

Теперь выразим $ \frac{v^2}{c^2} $:

$ \frac{v^2}{c^2} = 1 - 0.9801 $

$ \frac{v^2}{c^2} = 0.0199 $

Извлечем квадратный корень из обеих частей, чтобы найти $ \frac{v}{c} $:

$ \frac{v}{c} = \sqrt{0.0199} \approx 0.141 $

Таким образом, скорость частицы равна:

$ v \approx 0.141 c $

Выразим скорость в м/с, приняв $ c \approx 3 \cdot 10^8 $ м/с:

$ v \approx 0.141 \cdot (3 \cdot 10^8 \text{ м/с}) \approx 0.423 \cdot 10^8 \text{ м/с} = 4.23 \cdot 10^7 \text{ м/с} $

Ответ: $ v \approx 0.141 c $, что составляет примерно $ 4.23 \cdot 10^7 $ м/с.