Номер 9.18, страница 197 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 9. Элементы специальной теории относительности. Относительность расстояний и промежутков времени. Сложение скоростей - номер 9.18, страница 197.

Условие.

9.18*. С космического корабля, движущегося к Земле со скоростью $0,4c$, посылают два сигнала: световой сигнал и пучок быстрых частиц, имеющих относительно корабля скорость $0,8c$. В момент пуска сигналов корабль находился на расстоянии $12 \text{ Гм}$ от Земли. Какой из сигналов и на сколько раньше будет принят на Земле?

Решение.

Дано:

Скорость космического корабля относительно Земли, $v_{к} = 0,4c$

Скорость пучка частиц относительно корабля, $v'_{ч} = 0,8c$

Расстояние от корабля до Земли в момент пуска сигналов, $L = 12 \text{ Гм}$

Скорость света в вакууме, $c \approx 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}$

Перевод в систему СИ:

$L = 12 \text{ Гм} = 12 \cdot 10^9 \text{ м}$

Найти:

Какой из сигналов будет принят на Земле раньше и на сколько, $\Delta t$?

Решение:

Выберем инерциальную систему отсчета (ИСО), связанную с Землей. Земля находится в начале координат. Направим ось OX от Земли к кораблю. В момент посылки сигналов ($t=0$) корабль находится на расстоянии $\text{L}$ от Земли. Корабль и оба сигнала движутся к Земле, то есть в отрицательном направлении оси OX.

Скорость корабля относительно Земли: $v_к = -0,4c$.
Скорость частиц относительно корабля: $v'_ч = -0,8c$.

1. Время движения светового сигнала
Согласно второму постулату специальной теории относительности, скорость света в вакууме не зависит от скорости движения источника. Скорость светового сигнала относительно Земли равна $\text{c}$. Время, за которое световой сигнал преодолеет расстояние $\text{L}$ и достигнет Земли, равно:
$t_{св} = \frac{L}{c} = \frac{12 \cdot 10^9 \text{ м}}{3 \cdot 10^8 \text{ м/с}} = 40 \text{ с}$.

2. Время движения пучка частиц
Для нахождения скорости частиц относительно Земли ($v_ч$) используем релятивистский закон сложения скоростей:
$v_ч = \frac{v_к + v'_ч}{1 + \frac{v_к v'_ч}{c^2}}$
Подставим значения скоростей с учетом их направления:
$v_ч = \frac{-0,4c + (-0,8c)}{1 + \frac{(-0,4c)(-0,8c)}{c^2}} = \frac{-1,2c}{1 + 0,32} = \frac{-1,2c}{1,32} = -\frac{10}{11}c$.
Модуль скорости частиц относительно Земли равен $|v_ч| = \frac{10}{11}c$. Время движения частиц до Земли:
$t_{ч} = \frac{L}{|v_ч|} = \frac{L}{\frac{10}{11}c} = \frac{11}{10} \cdot \frac{L}{c}$.
Так как мы уже рассчитали, что $\frac{L}{c} = 40 \text{ с}$, получаем:
$t_{ч} = \frac{11}{10} \cdot 40 \text{ с} = 44 \text{ с}$.

3. Сравнение времени прибытия
Сравнивая время движения сигналов, $t_{св} = 40 \text{ с}$ и $t_{ч} = 44 \text{ с}$, видим, что $t_{св} < t_{ч}$. Следовательно, световой сигнал прибудет на Землю раньше.

Разница во времени прибытия составляет:
$\Delta t = t_ч - t_{св} = 44 \text{ с} - 40 \text{ с} = 4 \text{ с}$.

Ответ: Световой сигнал будет принят на Земле на 4 с раньше, чем пучок частиц.