Номер 9.21, страница 197 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 9. Элементы специальной теории относительности. Элементы релятивистской динамики - номер 9.21, страница 197.

Условие.

9.21. При какой скорости релятивистский импульс электрона в 2 раза больше импульса, рассчитанного по классической формуле?

Решение.

Дано:

$p_{рел} = 2 \cdot p_{кл}$

$c \approx 3 \cdot 10^8$ м/с

Найти:

$\text{v}$ - ?

Решение:

Запишем формулу для импульса в классической механике (классический импульс):

$p_{кл} = m_0 v$

где $m_0$ — масса покоя электрона, а $\text{v}$ — его скорость.

Формула для импульса в релятивистской механике (релятивистский импульс):

$p_{рел} = \frac{m_0 v}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$

где $\text{c}$ — скорость света в вакууме.

По условию задачи, релятивистский импульс в 2 раза больше классического:

$p_{рел} = 2 \cdot p_{кл}$

Подставим выражения для импульсов в это уравнение:

$\frac{m_0 v}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} = 2 \cdot m_0 v$

Поскольку искомая скорость $\text{v}$ не равна нулю (иначе оба импульса были бы равны нулю и их отношение было бы неопределенным), мы можем сократить обе части уравнения на $m_0 v$:

$\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} = 2$

Преобразуем уравнение, чтобы выразить скорость. Сначала выразим квадратный корень:

$\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} = \frac{1}{2}$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$\left(\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}\right)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2$

$1 - \frac{v^2}{c^2} = \frac{1}{4}$

Теперь выразим отношение $\frac{v^2}{c^2}$:

$\frac{v^2}{c^2} = 1 - \frac{1}{4}$

$\frac{v^2}{c^2} = \frac{3}{4}$

Извлечем квадратный корень, чтобы найти скорость $\text{v}$:

$v = \sqrt{\frac{3}{4}c^2} = \frac{\sqrt{3}}{2}c$

Подставим значение скорости света $c \approx 3 \cdot 10^8$ м/с и вычислим численное значение скорости:

$v \approx \frac{1.732}{2} \cdot 3 \cdot 10^8 \text{ м/с} \approx 0.866 \cdot 3 \cdot 10^8 \text{ м/с} \approx 2.598 \cdot 10^8 \text{ м/с}$

Округляя, получаем $v \approx 2.6 \cdot 10^8$ м/с.

Ответ: Скорость электрона должна быть равна $v = \frac{\sqrt{3}}{2} c \approx 2.6 \cdot 10^8$ м/с.