Номер 9.26, страница 197 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 9. Элементы специальной теории относительности. Элементы релятивистской динамики - номер 9.26, страница 197.

Условие.

9.26. Кинетическая энергия протона равна $0,5mc^2$. Определите:

а) полную энергию протона;

б) импульс протона.

Решение.

Дано:

Кинетическая энергия протона: $E_k = 0,5mc^2$.

Здесь $\text{m}$ — масса покоя протона, $\text{c}$ — скорость света в вакууме.

Найти:

а) $\text{E}$ — полную энергию протона.

б) $\text{p}$ — импульс протона.

Решение:

Данная задача решается с использованием понятий и формул специальной теории относительности (СТО), так как кинетическая энергия протона сопоставима с его энергией покоя, что указывает на релятивистскую скорость движения.

а) полную энергию протона

В релятивистской механике полная энергия частицы $\text{E}$ складывается из её энергии покоя $E_0$ и кинетической энергии $E_k$.

$E = E_0 + E_k$

Энергия покоя частицы, обладающей массой покоя $\text{m}$, определяется фундаментальным соотношением, выведенным А. Эйнштейном:

$E_0 = mc^2$

По условию задачи, кинетическая энергия протона равна половине его энергии покоя:

$E_k = 0,5mc^2$

Теперь мы можем найти полную энергию протона, подставив выражения для энергии покоя и кинетической энергии в первую формулу:

$E = mc^2 + 0,5mc^2 = 1,5mc^2$

Ответ: Полная энергия протона равна $E = 1,5mc^2$.

б) импульс протона

Для нахождения импульса протона воспользуемся основным уравнением релятивистской динамики, которое связывает полную энергию $\text{E}$, импульс $\text{p}$ и энергию покоя $E_0$ частицы:

$E^2 = (pc)^2 + E_0^2$

Из этого соотношения мы можем выразить величину $(pc)^2$:

$(pc)^2 = E^2 - E_0^2$

В это уравнение подставим найденное в пункте (а) значение полной энергии $E = 1,5mc^2$ и выражение для энергии покоя $E_0 = mc^2$:

$(pc)^2 = (1,5mc^2)^2 - (mc^2)^2$

Выполним возведение в квадрат и вычитание:

$(pc)^2 = 2,25(mc^2)^2 - 1 \cdot (mc^2)^2$

$(pc)^2 = (2,25 - 1)(mc^2)^2 = 1,25(mc^2)^2$

Чтобы найти $\text{p}$, извлечем квадратный корень из обеих частей равенства:

$pc = \sqrt{1,25(mc^2)^2} = \sqrt{1,25} \cdot mc^2$

Разделим обе части на скорость света $\text{c}$, чтобы получить выражение для импульса $\text{p}$:

$p = \sqrt{1,25} \cdot mc$

Для удобства можно упростить числовой коэффициент: $\sqrt{1,25} = \sqrt{\frac{125}{100}} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

Таким образом, окончательное выражение для импульса протона имеет вид:

$p = \frac{\sqrt{5}}{2}mc$

Ответ: Импульс протона равен $p = \frac{\sqrt{5}}{2}mc$.