Номер 9.31, страница 198 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 9. Элементы специальной теории относительности. Элементы релятивистской динамики - номер 9.31, страница 198.

Условие.

9.31. Какую ускоряющую разность потенциалов должен пройти протон, чтобы его полная энергия стала в 11 раз больше энергии покоя?

Решение.

Дано:

$\frac{E}{E_0} = 11$ (отношение полной энергии протона к его энергии покоя)

Константы в системе СИ:

Масса покоя протона, $m_p \approx 1.6726 \cdot 10^{-27}$ кг.

Элементарный заряд, $e \approx 1.6022 \cdot 10^{-19}$ Кл.

Скорость света в вакууме, $c \approx 3 \cdot 10^8$ м/с.

Найти:

$\text{U}$ - ускоряющую разность потенциалов.

Решение:

Полная релятивистская энергия частицы $\text{E}$ является суммой её энергии покоя $E_0$ и кинетической энергии $E_k$:

$E = E_0 + E_k$

Согласно условию задачи, полная энергия протона должна стать в 11 раз больше его энергии покоя:

$E = 11 E_0$

Приравнивая правые части этих двух выражений, мы можем найти кинетическую энергию $E_k$, которую должен приобрести протон:

$E_0 + E_k = 11 E_0$

Отсюда выражаем кинетическую энергию:

$E_k = 11 E_0 - E_0 = 10 E_0$

Энергия покоя $E_0$ вычисляется по знаменитой формуле Эйнштейна, связывающей массу и энергию:

$E_0 = m_p c^2$

Таким образом, требуемая кинетическая энергия протона равна десятикратной энергии его покоя:

$E_k = 10 m_p c^2$

С другой стороны, кинетическая энергия, которую приобретает частица с зарядом $\text{e}$, проходя ускоряющую разность потенциалов $\text{U}$, равна работе, совершённой электрическим полем. Если начальная скорость частицы пренебрежимо мала, то эта работа полностью переходит в кинетическую энергию:

$E_k = eU$

Теперь мы можем приравнять два полученных выражения для кинетической энергии:

$eU = 10 m_p c^2$

Из этого уравнения выразим искомую разность потенциалов $\text{U}$:

$U = \frac{10 m_p c^2}{e}$

Подставим числовые значения физических констант в системе СИ и произведём вычисления:

$U = \frac{10 \cdot (1.6726 \cdot 10^{-27} \text{ кг}) \cdot (3 \cdot 10^8 \text{ м/с})^2}{1.6022 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}}$

$U = \frac{10 \cdot 1.6726 \cdot 10^{-27} \cdot 9 \cdot 10^{16}}{1.6022 \cdot 10^{-19}} \text{ В} = \frac{1.50534 \cdot 10^{-9}}{1.6022 \cdot 10^{-19}} \text{ В}$

$U \approx 9.395 \cdot 10^9 \text{ В}$

Округлив, получаем значение около $9.4$ миллиардов вольт, или $9.4$ гигавольт (ГВ).

Ответ: ускоряющая разность потенциалов должна быть приблизительно $9.4 \cdot 10^9$ В.