Номер 9.29, страница 198 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 9. Элементы специальной теории относительности. Элементы релятивистской динамики - номер 9.29, страница 198.

Условие.

9.29*. Ускоритель разгоняет протоны до кинетической энергии 70 ГэВ.

a) Во сколько раз увеличивается их энергия?

б) С какой скоростью движутся протоны?

Решение.

Дано:

Кинетическая энергия протонов $E_k = 70$ ГэВ.

Справочные данные:

Энергия покоя протона $E_0 \approx 938$ МэВ.

Скорость света в вакууме $c \approx 3 \cdot 10^8$ м/с.

Элементарный заряд $e \approx 1.6 \cdot 10^{-19}$ Кл.

$E_k = 70 \text{ ГэВ} = 70 \cdot 10^9 \text{ эВ} = 70 \cdot 10^9 \cdot 1.6 \cdot 10^{-19} \text{ Дж} = 1.12 \cdot 10^{-8} \text{ Дж}$

$E_0 \approx 938 \text{ МэВ} = 938 \cdot 10^6 \text{ эВ} = 0.938 \text{ ГэВ} = 0.938 \cdot 10^9 \cdot 1.6 \cdot 10^{-19} \text{ Дж} \approx 1.5 \cdot 10^{-10} \text{ Дж}$

Найти:

а) Во сколько раз увеличивается их энергия (отношение полной энергии $\text{E}$ к энергии покоя $E_0$) - ?

б) Скорость протонов $\text{v}$ - ?

Решение:

а) Увеличение энергии частицы в релятивистской механике определяется как отношение ее полной энергии после ускорения к ее начальной энергии, которая в данном случае является энергией покоя. Полная энергия $\text{E}$ движущейся частицы равна сумме ее энергии покоя $E_0$ и кинетической энергии $E_k$.

Полная энергия протона после ускорения:

$E = E_0 + E_k$

Отношение конечной полной энергии к начальной энергии (энергии покоя) показывает, во сколько раз увеличилась энергия протона:

$\frac{E}{E_0} = \frac{E_0 + E_k}{E_0} = 1 + \frac{E_k}{E_0}$

Для расчетов удобно выразить все энергии в одинаковых единицах, например, в гигаэлектронвольтах (ГэВ).

$E_k = 70$ ГэВ

$E_0 \approx 938$ МэВ $= 0.938$ ГэВ

Подставим значения в формулу:

$\frac{E}{E_0} = 1 + \frac{70 \text{ ГэВ}}{0.938 \text{ ГэВ}} \approx 1 + 74.63 \approx 75.63$

Ответ: Энергия протонов увеличивается примерно в 75,6 раз.

б) Скорость протонов можно найти, используя связь между полной энергией и скоростью в специальной теории относительности. Полная энергия выражается через лоренц-фактор $\gamma$:

$E = \gamma m_0 c^2 = \gamma E_0$, где лоренц-фактор $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$.

Из этой формулы видно, что лоренц-фактор равен отношению полной энергии к энергии покоя, которое мы уже вычислили в пункте а):

$\gamma = \frac{E}{E_0} \approx 75.63$

Теперь выразим скорость $\text{v}$ из определения лоренц-фактора:

$\gamma^2 = \frac{1}{1 - (v/c)^2}$

$1 - (v/c)^2 = \frac{1}{\gamma^2}$

$(v/c)^2 = 1 - \frac{1}{\gamma^2}$

$v = c \sqrt{1 - \frac{1}{\gamma^2}}$

Подставим численное значение $\gamma$:

$v = c \sqrt{1 - \frac{1}{75.63^2}} \approx c \sqrt{1 - \frac{1}{5720}} \approx c \sqrt{1 - 0.0001748} = c \sqrt{0.9998252} \approx 0.9999126 c$

Скорость протонов оказывается очень близкой к скорости света. Вычислим ее абсолютное значение:

$v \approx 0.9999126 \cdot (3 \cdot 10^8 \text{ м/с}) \approx 2.9997378 \cdot 10^8 \text{ м/с}$

Ответ: Протоны движутся со скоростью $v \approx 0.99991c$, что составляет примерно $2.9997 \cdot 10^8$ м/с.