Номер 9.27, страница 197 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 9. Элементы специальной теории относительности. Элементы релятивистской динамики - номер 9.27, страница 197.

Условие.

9.27. При какой скорости кинетическая энергия частицы равна её энергии покоя?

Решение.

Дано:

$E_к = E_0$, где $E_к$ — кинетическая энергия частицы, $E_0$ — энергия покоя частицы.

Найти:

$\text{v}$ — скорость частицы.

Решение:

В специальной теории относительности энергия покоя частицы ($E_0$) с массой покоя $m_0$ и полная энергия ($\text{E}$) частицы, движущейся со скоростью $\text{v}$, определяются следующими формулами:

$E_0 = m_0c^2$

$E = \frac{m_0c^2}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$

где $\text{c}$ — скорость света в вакууме.

Кинетическая энергия ($E_к$) — это разность между полной энергией и энергией покоя:

$E_к = E - E_0 = \frac{m_0c^2}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} - m_0c^2 = m_0c^2 \left( \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} - 1 \right)$

Согласно условию задачи, кинетическая энергия частицы равна её энергии покоя, то есть $E_к = E_0$. Подставим в это равенство соответствующие выражения:

$m_0c^2 \left( \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} - 1 \right) = m_0c^2$

Так как масса покоя $m_0$ и скорость света $\text{c}$ не равны нулю, мы можем сократить обе части уравнения на $m_0c^2$:

$\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} - 1 = 1$

Теперь решим это уравнение относительно скорости $\text{v}$. Сначала изолируем член с корнем:

$\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} = 2$

Возьмём обратную величину от обеих частей уравнения:

$\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} = \frac{1}{2}$

Чтобы избавиться от квадратного корня, возведём обе части уравнения в квадрат:

$1 - \frac{v^2}{c^2} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$

Выразим отношение $\frac{v^2}{c^2}$:

$\frac{v^2}{c^2} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

Наконец, извлечём квадратный корень, чтобы найти скорость $\text{v}$:

$v = \sqrt{\frac{3}{4}c^2} = \frac{\sqrt{3}}{2}c$

Вычислим численное значение, приняв скорость света $c \approx 3 \cdot 10^8$ м/с:

$v \approx \frac{1.732}{2} \cdot 3 \cdot 10^8 \text{ м/с} \approx 0.866 \cdot 3 \cdot 10^8 \text{ м/с} \approx 2.6 \cdot 10^8 \text{ м/с}$

Ответ: скорость, при которой кинетическая энергия частицы равна её энергии покоя, составляет $v = \frac{\sqrt{3}}{2}c \approx 2.6 \cdot 10^8$ м/с.