Номер 9.22, страница 197 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 9. Элементы специальной теории относительности. Элементы релятивистской динамики - номер 9.22, страница 197.

Условие.

9.22.В результате аннигиляции электрона массой $\text{m}$ и позитрона массой $\text{m}$ образуются два кванта электромагнитного излучения, летящие в противоположные стороны. Определите энергию квантов, считая, что скорость электрона и позитрона мала по сравнению со скоростью света.

Решение.

Дано:

Масса электрона: $m_e = m$

Масса позитрона: $m_p = m$

Скорости частиц до аннигиляции: $v \ll c$

Найти:

Энергию кванта: $E_k$

Решение:

Аннигиляция — это процесс взаимодействия частицы и античастицы, в результате которого они исчезают, а их масса превращается в энергию в виде других частиц, в данном случае — двух фотонов (квантов электромагнитного излучения). Этот процесс подчиняется фундаментальным законам сохранения: закону сохранения энергии и закону сохранения импульса.

Согласно закону сохранения энергии, полная энергия системы до реакции должна быть равна полной энергии системы после реакции. До аннигиляции система состоит из электрона и позитрона. Полная энергия каждой частицы равна сумме её энергии покоя ($E_0 = mc^2$) и кинетической энергии ($\text{K}$).

$E_{до} = (m_e c^2 + K_e) + (m_p c^2 + K_p)$

По условию, скорости электрона и позитрона малы по сравнению со скоростью света ($v \ll c$), поэтому их кинетической энергией можно пренебречь по сравнению с энергией покоя. Массы электрона и позитрона равны $\text{m}$. Таким образом, полная энергия системы до аннигиляции приблизительно равна сумме их энергий покоя:

$E_{до} \approx mc^2 + mc^2 = 2mc^2$

После аннигиляции образуются два кванта с энергиями $E_1$ и $E_2$. Полная энергия системы после аннигиляции равна сумме энергий этих квантов:

$E_{после} = E_1 + E_2$

Приравнивая энергию до и после реакции, получаем первое уравнение:

$2mc^2 = E_1 + E_2$

Теперь применим закон сохранения импульса. Так как скорости частиц до столкновения малы, их суммарный импульс можно считать равным нулю: $\vec{p}_{до} \approx 0$.

После аннигиляции образуются два фотона, которые, по условию, летят в противоположные стороны. Их импульсы $\vec{p_1}$ и $\vec{p_2}$ направлены в противоположные стороны. Суммарный импульс системы после аннигиляции: $\vec{p}_{после} = \vec{p_1} + \vec{p_2}$.

Из закона сохранения импульса ($\vec{p}_{до} = \vec{p}_{после}$) следует:

$0 = \vec{p_1} + \vec{p_2}$

Это означает, что векторы импульсов фотонов равны по модулю и противоположны по направлению: $\vec{p_1} = -\vec{p_2}$, а значит, их модули равны: $p_1 = p_2$.

Импульс фотона $\text{p}$ связан с его энергией $\text{E}$ соотношением $p = E/c$. Из равенства модулей импульсов следует и равенство энергий фотонов:

$\frac{E_1}{c} = \frac{E_2}{c} \implies E_1 = E_2$

Мы получили систему из двух уравнений:

1) $2mc^2 = E_1 + E_2$

2) $E_1 = E_2$

Подставим второе уравнение в первое:

$2mc^2 = E_1 + E_1 = 2E_1$

Отсюда находим энергию одного кванта, которую обозначим $E_k$:

$E_k = E_1 = E_2 = mc^2$

Ответ: Энергия каждого кванта, образовавшегося в результате аннигиляции, равна $E_k = mc^2$.