Номер 9.16, страница 196 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 9. Элементы специальной теории относительности. Относительность расстояний и промежутков времени. Сложение скоростей - номер 9.16, страница 196.

Условие.

9.16. Два электрона движутся со скоростями $v_1 = 0,6c$ и $v_2 = 0,8c$ относительно неподвижного наблюдателя. Какова скорость электронов друг относительно друга, если они движутся:

а) в противоположных направлениях;

б) в одном направлении?

Решение.

Дано:

$v_1 = 0,6c$

$v_2 = 0,8c$

$\text{c}$ - скорость света в вакууме.

Все данные представлены в долях от скорости света, что является стандартным для задач по теории относительности, поэтому перевод в систему СИ не требуется.

Найти:

$v_{отн}$ - относительная скорость электронов для случаев а) и б).

Решение:

Поскольку скорости электронов сопоставимы со скоростью света, для нахождения их относительной скорости необходимо использовать релятивистский закон преобразования скоростей. Пусть $\text{S}$ — это лабораторная система отсчета (система неподвижного наблюдателя), в которой скорости электронов равны $v_1$ и $v_2$.

Чтобы найти скорость второго электрона относительно первого, мы перейдем в систему отсчета $S'$, связанную с первым электроном. Эта система $S'$ движется со скоростью $u = v_1$ относительно системы $\text{S}$. Скорость второго электрона $v_2$ в системе $\text{S}$ преобразуется в скорость $v_{отн}$ в системе $S'$ по формуле:

$v_{отн} = \frac{v_2 - v_1}{1 - \frac{v_1 v_2}{c^2}}$

Рассмотрим два случая движения.

а) в противоположных направлениях

Пусть первый электрон движется в положительном направлении оси $\text{Ox}$, а второй — в отрицательном. Тогда их скорости в лабораторной системе отсчета $\text{S}$ будут иметь знаки:

$v_1 = +0,6c$

$v_2 = -0,8c$

Подставим эти значения в формулу для относительной скорости:

$v_{отн} = \frac{-0,8c - 0,6c}{1 - \frac{(0,6c)(-0,8c)}{c^2}} = \frac{-1,4c}{1 - (-0,48)} = \frac{-1,4c}{1 + 0,48} = \frac{-1,4c}{1,48} \approx -0,946c$

Знак «минус» указывает на то, что с точки зрения первого электрона, второй движется ему навстречу. Величина относительной скорости (скорость сближения) равна модулю этого значения.

Ответ: Скорость электронов друг относительно друга, если они движутся в противоположных направлениях, составляет приблизительно $0,946c$.

б) в одном направлении

Пусть оба электрона движутся в положительном направлении оси $\text{Ox}$. Тогда их скорости в лабораторной системе отсчета $\text{S}$ будут:

$v_1 = +0,6c$

$v_2 = +0,8c$

Подставим эти значения в формулу, чтобы найти скорость второго (более быстрого) электрона относительно первого:

$v_{отн} = \frac{0,8c - 0,6c}{1 - \frac{(0,6c)(0,8c)}{c^2}} = \frac{0,2c}{1 - 0,48} = \frac{0,2c}{0,52} = \frac{20}{52}c = \frac{5}{13}c \approx 0,385c$

Положительный знак означает, что второй электрон удаляется от первого в том же направлении.

Ответ: Скорость электронов друг относительно друга, если они движутся в одном направлении, составляет $\frac{5}{13}c$ или приблизительно $0,385c$.