Номер 9.15, страница 196 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 9. Элементы специальной теории относительности. Относительность расстояний и промежутков времени. Сложение скоростей - номер 9.15, страница 196.

Условие.

9.15. Безмассовая элементарная частица движется со скоростью света $\text{c}$. Наблюдатель движется ей навстречу со скоростью $\text{v}$. Какова скорость частицы относительно наблюдателя? При каких скоростях движения релятивистский закон сложения скоростей переходит в классический (закон Галилея)?

Решение.

Какова скорость частицы относительно наблюдателя?

Дано:
Скорость безмассовой частицы в некоторой инерциальной системе отсчета (ИСО): $u_p = c$
Скорость наблюдателя в той же ИСО: $v_o = v$ (движется навстречу)

Найти:
Скорость частицы относительно наблюдателя: $u_{rel}$

Решение:
Согласно второму постулату специальной теории относительности (СТО), скорость света в вакууме является предельной скоростью и одинакова во всех инерциальных системах отсчета. Поскольку безмассовая частица движется со скоростью света, ее скорость для любого инерциального наблюдателя будет равна $\text{c}$, независимо от скорости самого наблюдателя.
Проверим это с помощью релятивистского закона преобразования скоростей. Пусть лабораторная система отсчета K неподвижна, и частица движется вдоль оси Ox. Тогда ее скорость в системе K равна $u_x = c$. Наблюдатель движется навстречу, следовательно, его скорость в системе K равна $V = -v$.
Найдем скорость частицы $u'_x$ в системе отсчета K', связанной с наблюдателем, по формуле:
$u'_x = \frac{u_x - V}{1 - \frac{u_x V}{c^2}}$
Подставим значения $u_x = c$ и $V = -v$:
$u'_x = \frac{c - (-v)}{1 - \frac{c(-v)}{c^2}} = \frac{c + v}{1 + \frac{cv}{c^2}} = \frac{c + v}{1 + \frac{v}{c}}$
Упростим выражение, приведя знаменатель к общему:
$u'_x = \frac{c + v}{\frac{c + v}{c}} = \frac{c(c + v)}{c + v} = c$
Таким образом, расчет подтверждает, что скорость частицы относительно наблюдателя также равна скорости света.

Ответ: Скорость частицы относительно наблюдателя равна скорости света $\text{c}$.

При каких скоростях движения релятивистский закон сложения скоростей переходит в классический (закон Галилея)?

Решение:
Релятивистский закон сложения скоростей для одномерного движения имеет вид:
$u = \frac{u' + v}{1 + \frac{u'v}{c^2}}$
где $\text{u}$ — скорость тела в "неподвижной" системе отсчета К, $u'$ — скорость тела в движущейся системе отсчета К', а $\text{v}$ — скорость системы К' относительно К.
Классический закон сложения скоростей (преобразования Галилея) выглядит проще:
$u_{клас} = u' + v$
Релятивистская формула переходит в классическую, когда знаменатель в релятивистской формуле $1 + \frac{u'v}{c^2}$ становится практически равным единице. Это условие выполняется, если слагаемое $\frac{u'v}{c^2}$ пренебрежимо мало по сравнению с 1:
$\frac{u'v}{c^2} \ll 1$
Данное неравенство справедливо в том случае, когда скорости движения $u'$ и $\text{v}$ намного меньше скорости света $\text{c}$ (то есть $u' \ll c$ и $v \ll c$). В мире малых скоростей, с которыми мы сталкиваемся в повседневной жизни, релятивистскими эффектами можно пренебречь, и классическая механика дает достаточно точное описание.

Ответ: Релятивистский закон сложения скоростей переходит в классический закон Галилея при скоростях движения, которые значительно меньше скорости света ($v \ll c$).