Номер 9.8, страница 196 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 9. Элементы специальной теории относительности. Относительность расстояний и промежутков времени. Сложение скоростей - номер 9.8, страница 196.

Условие.

9.8. Какую скорость должен иметь стержень, чтобы его длина (для неподвижного наблюдателя) была меньше его собственной длины на 1%?

Решение.

Дано:

Сокращение длины стержня составляет 1% от его собственной длины.

$L = L_0 - 0.01 L_0 = 0.99 L_0$

Скорость света в вакууме $c \approx 3 \cdot 10^8$ м/с.

Найти:

$\text{v}$ — скорость стержня.

Решение:

Для решения этой задачи воспользуемся формулой релятивистского сокращения длины (сокращения Лоренца), которая связывает длину движущегося объекта $\text{L}$ (измеренную неподвижным наблюдателем) с его собственной длиной $L_0$ (длиной в системе отсчета, связанной с самим объектом):

$L = L_0 \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$

где $\text{v}$ — скорость объекта, а $\text{c}$ — скорость света.

Согласно условию, длина стержня для неподвижного наблюдателя на 1% меньше его собственной длины. Математически это выражается как:

$L = L_0 - 0.01 L_0 = 0.99 L_0$

Подставим это соотношение в формулу сокращения длины:

$0.99 L_0 = L_0 \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$

Разделим обе части уравнения на $L_0$ (так как собственная длина не равна нулю):

$0.99 = \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$

Чтобы найти скорость $\text{v}$, возведем обе части уравнения в квадрат:

$0.99^2 = \left(\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}\right)^2$

$0.9801 = 1 - \frac{v^2}{c^2}$

Выразим из этого уравнения член $\frac{v^2}{c^2}$:

$\frac{v^2}{c^2} = 1 - 0.9801$

$\frac{v^2}{c^2} = 0.0199$

Теперь извлечем квадратный корень из обеих частей, чтобы найти скорость $\text{v}$:

$v = \sqrt{0.0199 \cdot c^2} = c \sqrt{0.0199}$

Вычислим значение корня:

$\sqrt{0.0199} \approx 0.141067$

Таким образом, скорость стержня составляет approximately $0.141$ от скорости света:

$v \approx 0.141c$

Чтобы получить значение в метрах в секунду, умножим это значение на скорость света $c \approx 3 \cdot 10^8$ м/с:

$v \approx 0.141 \cdot 3 \cdot 10^8 \text{ м/с} \approx 4.23 \cdot 10^7 \text{ м/с}$

Ответ: чтобы длина стержня для неподвижного наблюдателя была на 1% меньше его собственной длины, стержень должен двигаться со скоростью $v \approx 0.141c$, что составляет примерно $4.23 \cdot 10^7$ м/с.