Номер 9.7, страница 196 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 9. Элементы специальной теории относительности. Относительность расстояний и промежутков времени. Сложение скоростей - номер 9.7, страница 196.

Условие.

9.7. С какой скоростью должен лететь звездолёт, чтобы пройденный путь, измеренный астронавтом, оказался вдвое короче измеренного с Земли?

Решение.

Дано:

$L = \frac{1}{2} L_0$, где $\text{L}$ - пройденный путь, измеренный астронавтом, а $L_0$ - пройденный путь, измеренный с Земли.

$c \approx 3 \cdot 10^8$ м/с - скорость света в вакууме.

Найти:

$\text{v}$ - скорость звездолёта.

Решение:

Данная задача описывается эффектом релятивистского сокращения длины (или лоренцева сокращения) из специальной теории относительности. Согласно этой теории, длина объекта, движущегося с релятивистской скоростью, кажется короче для наблюдателя, относительно которого объект движется.

Расстояние, измеренное наблюдателем на Земле, является собственной длиной $L_0$, так как в системе отсчета Земли точки начала и конца пути неподвижны. Для астронавта на звездолёте это же расстояние (между Землей и конечной точкой) будет казаться сокращенным, так как он движется относительно этой системы отсчета. Это сокращенное расстояние мы обозначаем как $\text{L}$.

Формула, связывающая собственную длину и сокращенную, выглядит следующим образом:

$L = L_0 \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$

где $\text{v}$ — скорость движения системы отсчета (звездолёта), а $\text{c}$ — скорость света.

Из условия задачи нам известно, что $L = \frac{1}{2} L_0$. Подставим это соотношение в формулу:

$\frac{L_0}{2} = L_0 \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$

Сократим $L_0$ в обеих частях уравнения (поскольку $L_0 \neq 0$):

$\frac{1}{2} = \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$

Чтобы найти $\text{v}$, возведём обе части уравнения в квадрат:

$(\frac{1}{2})^2 = 1 - \frac{v^2}{c^2}$

$\frac{1}{4} = 1 - \frac{v^2}{c^2}$

Теперь выразим $\frac{v^2}{c^2}$:

$\frac{v^2}{c^2} = 1 - \frac{1}{4}$

$\frac{v^2}{c^2} = \frac{3}{4}$

Извлечем квадратный корень из обеих частей, чтобы найти отношение скорости звездолёта к скорости света:

$\frac{v}{c} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Таким образом, искомая скорость $\text{v}$ равна:

$v = c \frac{\sqrt{3}}{2}$

Вычислим приближенное значение этой скорости:

$v \approx 0.866 c$

Выразим эту скорость в м/с:

$v \approx 0.866 \cdot (3 \cdot 10^8 \text{ м/с}) \approx 2.598 \cdot 10^8 \text{ м/с}$

Ответ: звездолёт должен лететь со скоростью $v = c \frac{\sqrt{3}}{2}$, что составляет примерно $0.866$ от скорости света, или около $2.6 \cdot 10^8$ м/с.