Номер 9.6, страница 196 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 9. Элементы специальной теории относительности. Относительность расстояний и промежутков времени. Сложение скоростей - номер 9.6, страница 196.

Условие.

9.6. С какой скоростью должен двигаться предмет, чтобы его длина для неподвижного наблюдателя была втрое меньше собственной длины?

Решение.

Дано:

$L = \frac{L_0}{3}$ (длина для неподвижного наблюдателя в 3 раза меньше собственной длины)

$c \approx 3 \cdot 10^8$ м/с (скорость света в вакууме)

Найти:

$\text{v}$ — скорость движения предмета.

Решение:

Это явление описывается в рамках специальной теории относительности и называется лоренцевым сокращением длины. Длина $\text{L}$ объекта, движущегося со скоростью $\text{v}$ относительно наблюдателя, связана с его собственной длиной $L_0$ (длиной в системе отсчета, где объект покоится) следующим соотношением:

$L = L_0 \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$

По условию задачи, длина для неподвижного наблюдателя втрое меньше собственной длины, то есть $L = \frac{L_0}{3}$. Подставим это соотношение в формулу лоренцева сокращения:

$\frac{L_0}{3} = L_0 \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$

Сократим обе части уравнения на $L_0$, так как собственная длина не равна нулю:

$\frac{1}{3} = \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$

Для того чтобы избавиться от квадратного корня, возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\frac{1}{3})^2 = 1 - \frac{v^2}{c^2}$

$\frac{1}{9} = 1 - \frac{v^2}{c^2}$

Теперь выразим из уравнения член $\frac{v^2}{c^2}$:

$\frac{v^2}{c^2} = 1 - \frac{1}{9}$

$\frac{v^2}{c^2} = \frac{8}{9}$

Чтобы найти скорость $\text{v}$, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$\frac{v}{c} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

Отсюда находим искомую скорость $\text{v}$:

$v = \frac{2\sqrt{2}}{3}c$

Вычислим приближенное значение скорости. Примем $\sqrt{2} \approx 1.414$ и $c \approx 3 \cdot 10^8$ м/с:

$v \approx \frac{2 \cdot 1.414}{3} c \approx 0.943c$

В метрах в секунду это составит:

$v \approx 0.943 \cdot (3 \cdot 10^8 \text{ м/с}) \approx 2.829 \cdot 10^8 \text{ м/с}$

Ответ: Предмет должен двигаться со скоростью $v = \frac{2\sqrt{2}}{3}c \approx 0.943c$, что составляет примерно $2.83 \cdot 10^8$ м/с.