Номер 9.3, страница 195 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 9. Элементы специальной теории относительности. Относительность расстояний и промежутков времени. Сложение скоростей - номер 9.3, страница 195.

Условие.

9.3. Тело, с которым связана система отсчёта $K'$, движется со скоростью $\text{u}$ относительно системы отсчёта $\text{K}$. Как отличаются от значений в системе отсчёта $K'$ значения следующих величин в системе $\text{K}$:

a) Размеры тела вдоль линии движения;

б) Масса тела;

в) Плотность вещества?

Решение.

Дано:

Система отсчёта K' (собственная система отсчёта тела), в которой тело покоится.

Система отсчёта K, относительно которой система K' (и тело) движется со скоростью $\text{u}$.

$L_0$ — размеры тела вдоль линии движения в системе K' (собственная длина).

$m_0$ — масса тела в системе K' (масса покоя).

$\rho_0$ — плотность вещества в системе K' (собственная плотность).

$\text{L}$, $\text{m}$, $\rho$ — соответствующие величины, измеренные в системе K.

$\text{c}$ — скорость света в вакууме.

Найти:

Как соотносятся $\text{L}$ и $L_0$; $\text{m}$ и $m_0$; $\rho$ и $\rho_0$.

Решение:

Для ответа на этот вопрос воспользуемся постулатами и следствиями специальной теории относительности (СТО), которые описывают, как физические величины изменяются при переходе от одной инерциальной системы отсчёта к другой.

а) размеры тела вдоль линии движения;

Согласно СТО, происходит релятивистское сокращение длины (лоренцево сокращение). Длина объекта, измеренная в системе отсчёта, где он движется, оказывается меньше его собственной длины (длины в системе отсчёта, где он покоится). Сокращение происходит только в направлении движения. Связь между длиной $\text{L}$ в системе K и собственной длиной $L_0$ в системе K' выражается формулой:

$L = L_0 \sqrt{1 - \frac{u^2}{c^2}}$

Поскольку скорость $\text{u}$ всегда меньше скорости света $\text{c}$, множитель $\sqrt{1 - u^2/c^2}$ всегда меньше единицы. Следовательно, $L < L_0$.

Ответ: Размеры тела вдоль линии движения в системе K сокращаются (уменьшаются) по сравнению со значениями в системе K'. Соотношение между ними: $L = L_0 \sqrt{1 - u^2/c^2}$.

б) масса тела;

Масса тела также является релятивистской величиной и зависит от скорости. Масса движущегося тела (релятивистская масса $\text{m}$) больше его массы покоя $m_0$. Эта зависимость описывается формулой:

$m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{u^2}{c^2}}}$

Так как знаменатель $\sqrt{1 - u^2/c^2}$ меньше единицы, то $m > m_0$.

Ответ: Масса тела в системе K увеличивается по сравнению со значением в системе K'. Соотношение между ними: $m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - u^2/c^2}}$.

в) плотность вещества?

Плотность по определению равна отношению массы к объему: $\rho = m/V$. Чтобы найти, как изменяется плотность, нужно проанализировать изменение и массы, и объема.

Масса, как было показано в пункте б), увеличивается: $m = m_0 / \sqrt{1 - u^2/c^2}$.

Объем тела $\text{V}$ в системе K изменяется из-за сокращения его линейного размера вдоль направления движения. Поперечные размеры (перпендикулярные вектору скорости) не изменяются. Если собственный объем тела $V_0 = L_{0x} \cdot L_{0y} \cdot L_{0z}$ (где движение происходит вдоль оси x), то объем $\text{V}$ в системе K будет:

$V = L_x \cdot L_y \cdot L_z = (L_{0x}\sqrt{1 - \frac{u^2}{c^2}}) \cdot L_{0y} \cdot L_{0z} = V_0 \sqrt{1 - \frac{u^2}{c^2}}$

Таким образом, объем движущегося тела уменьшается.

Теперь можно найти плотность $\rho$ в системе K:

$\rho = \frac{m}{V} = \frac{m_0 / \sqrt{1 - u^2/c^2}}{V_0 \sqrt{1 - u^2/c^2}} = \frac{m_0}{V_0} \cdot \frac{1}{1 - u^2/c^2}$

Так как собственная плотность $\rho_0 = m_0/V_0$, то получаем:

$\rho = \frac{\rho_0}{1 - u^2/c^2}$

Поскольку знаменатель $1 - u^2/c^2$ меньше единицы, то $\rho > \rho_0$. Плотность тела увеличивается из-за двух факторов: увеличения массы и уменьшения объема.

Ответ: Плотность вещества в системе K увеличивается по сравнению со значением в системе K'. Соотношение между ними: $\rho = \frac{\rho_0}{1 - u^2/c^2}$.