Номер 9.11, страница 196 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 9. Элементы специальной теории относительности. Относительность расстояний и промежутков времени. Сложение скоростей - номер 9.11, страница 196.

Условие.

9.11. Мюон, рождающийся в верхних слоях атмосферы, пролетает до распада 5 км. Определите, с какой скоростью летит мюон, если его собственное время жизни $2,21 \cdot 10^{-6}$ с.

Решение.

Дано:

$L = 5$ км

$\tau_0 = 2,21 \cdot 10^{-6}$ с

$c = 3 \cdot 10^8$ м/с

Перевод в систему СИ:

$L = 5 \cdot 10^3$ м

Найти:

$\text{v}$ - скорость мюона

Решение:

Данная задача решается с помощью специальной теории относительности. Ключевым явлением здесь является релятивистское замедление времени. Собственное время жизни мюона $\tau_0$ — это время, измеренное в системе отсчета, движущейся вместе с мюоном. Для наблюдателя на Земле, относительно которого мюон движется со скоростью $\text{v}$, время жизни мюона $\Delta t$ будет больше.

Связь между собственным временем $\tau_0$ и временем в лабораторной системе отсчета $\Delta t$ дается формулой замедления времени:

$\Delta t = \frac{\tau_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$

За время $\Delta t$ (в системе отсчета Земли) мюон пролетает расстояние $\text{L}$ со скоростью $\text{v}$. Связь между этими величинами классическая:

$L = v \cdot \Delta t$

Подставим выражение для $\Delta t$ из первой формулы во вторую:

$L = v \cdot \frac{\tau_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$

Теперь нам нужно решить это уравнение относительно скорости $\text{v}$. Для этого преобразуем уравнение. Сначала возведем обе части в квадрат, чтобы избавиться от квадратного корня:

$L^2 = \frac{v^2 \tau_0^2}{1 - \frac{v^2}{c^2}}$

Далее, умножим обе части на знаменатель дроби:

$L^2 \cdot (1 - \frac{v^2}{c^2}) = v^2 \tau_0^2$

Раскроем скобки:

$L^2 - L^2 \frac{v^2}{c^2} = v^2 \tau_0^2$

Сгруппируем все члены, содержащие $v^2$, в одной части уравнения:

$L^2 = v^2 \tau_0^2 + L^2 \frac{v^2}{c^2}$

$L^2 = v^2 (\tau_0^2 + \frac{L^2}{c^2})$

Выразим $v^2$:

$v^2 = \frac{L^2}{\tau_0^2 + \frac{L^2}{c^2}}$

Извлечем квадратный корень, чтобы найти $\text{v}$:

$v = \sqrt{\frac{L^2}{\tau_0^2 + \frac{L^2}{c^2}}} = \frac{L}{\sqrt{\tau_0^2 + \frac{L^2}{c^2}}}$

Подставим числовые значения:

$v = \frac{5 \cdot 10^3 \text{ м}}{\sqrt{(2,21 \cdot 10^{-6} \text{ с})^2 + \frac{(5 \cdot 10^3 \text{ м})^2}{(3 \cdot 10^8 \text{ м/с})^2}}}$

$v = \frac{5 \cdot 10^3}{\sqrt{4,8841 \cdot 10^{-12} + \frac{25 \cdot 10^6}{9 \cdot 10^{16}}}} = \frac{5 \cdot 10^3}{\sqrt{4,8841 \cdot 10^{-12} + 2,777... \cdot 10^{-10}}}$

$v = \frac{5 \cdot 10^3}{\sqrt{0,048841 \cdot 10^{-10} + 2,777... \cdot 10^{-10}}} = \frac{5 \cdot 10^3}{\sqrt{2,8266 \cdot 10^{-10}}}$

$v = \frac{5 \cdot 10^3}{1,6812 \cdot 10^{-5}} \approx 2,97397 \cdot 10^8$ м/с

Округлим результат до трех значащих цифр, так как данные в условии имеют такую точность:

$v \approx 2,97 \cdot 10^8$ м/с

Скорость мюона очень близка к скорости света. Можно выразить ее в долях от скорости света:

$\frac{v}{c} = \frac{2,97 \cdot 10^8}{3 \cdot 10^8} = 0,99$

Более точный расчет дает $\approx 0,991c$.

Ответ: Скорость мюона составляет примерно $2,97 \cdot 10^8$ м/с.