Номер 9.12, страница 196 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 9. Элементы специальной теории относительности. Относительность расстояний и промежутков времени. Сложение скоростей - номер 9.12, страница 196.

Условие.

9.12. Мюоны космических лучей рождаются в верхних слоях атмосферы. При скорости, равной $0,995c$, они успевают пролететь до распада $6 \cdot 10^3$ м. Определите:

а) время жизни мюона для наблюдателя на Земле;

б) собственное время жизни мюона.

Решение.

Дано:

$v = 0.995c$

$L = 6 \cdot 10^3$ м

$c = 3 \cdot 10^8$ м/с

Найти:

а) $\Delta t$ - ?

б) $\Delta t_0$ - ?

Решение:

а) время жизни мюона для наблюдателя на Земле

Время жизни мюона для наблюдателя на Земле (в лабораторной системе отсчета) определяется как отношение расстояния, которое пролетел мюон, к его скорости. Оба этих значения измеряются в системе отсчета, связанной с Землей.

$\Delta t = \frac{L}{v}$

Подставим числовые значения:

$\Delta t = \frac{6 \cdot 10^3 \text{ м}}{0.995 \cdot 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}} = \frac{6 \cdot 10^3}{2.985 \cdot 10^8} \text{ с} \approx 2.01 \cdot 10^{-5} \text{ с}$

Ответ: $2.01 \cdot 10^{-5}$ с.

б) собственное время жизни мюона

Собственное время жизни мюона ($\Delta t_0$) — это промежуток времени, измеренный в системе отсчета, движущейся вместе с мюоном. Это время связано со временем $\Delta t$, измеренным наблюдателем на Земле, формулой релятивистского замедления времени:

$\Delta t = \frac{\Delta t_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$

Отсюда собственное время жизни мюона равно:

$\Delta t_0 = \Delta t \cdot \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$

Подставим значения, включая найденное в пункте а) время $\Delta t$:

$\Delta t_0 = 2.01 \cdot 10^{-5} \text{ с} \cdot \sqrt{1 - \frac{(0.995c)^2}{c^2}} = 2.01 \cdot 10^{-5} \text{ с} \cdot \sqrt{1 - 0.995^2}$

$\Delta t_0 = 2.01 \cdot 10^{-5} \cdot \sqrt{1 - 0.990025} = 2.01 \cdot 10^{-5} \cdot \sqrt{0.009975} \approx 2.01 \cdot 10^{-5} \cdot 0.09987 \approx 2.007 \cdot 10^{-6} \text{ с}$

Ответ: $2.01 \cdot 10^{-6}$ с.