Номер 9.28, страница 197 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 9. Элементы специальной теории относительности. Элементы релятивистской динамики - номер 9.28, страница 197.

Условие.

9.28. С какой скоростью должен лететь протон, чтобы его кинетическая энергия стала равна энергии покоя $\alpha$-частицы?

Решение.

9.28. Дано:

Кинетическая энергия протона равна энергии покоя $\alpha$-частицы: $E_{к,p} = E_{0,\alpha}$
Масса покоя протона $m_p \approx 1,6726 \times 10^{-27}$ кг
Масса покоя $\alpha$-частицы $m_\alpha \approx 6,6447 \times 10^{-27}$ кг
Скорость света в вакууме $c = 3 \times 10^8$ м/с

Найти:

$v_p$ - скорость протона.

Решение:

Согласно условию задачи, кинетическая энергия протона $E_{к,p}$ равна энергии покоя $\alpha$-частицы $E_{0,\alpha}$:

$E_{к,p} = E_{0,\alpha}$

Энергия покоя $\alpha$-частицы определяется знаменитой формулой Эйнштейна, связывающей массу и энергию:

$E_{0,\alpha} = m_\alpha c^2$

Так как энергия покоя $\alpha$-частицы является значительной величиной, можно предположить, что для ее достижения протону потребуется скорость, близкая к скорости света. Поэтому для расчета кинетической энергии протона необходимо использовать релятивистскую формулу:

$E_{к,p} = (\gamma - 1)m_p c^2$

Здесь $\gamma$ — это лоренц-фактор, который зависит от скорости частицы $v_p$ и определяется как $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v_p^2/c^2}}$.

Приравняем выражения для кинетической энергии протона и энергии покоя $\alpha$-частицы:

$(\frac{1}{\sqrt{1 - v_p^2/c^2}} - 1)m_p c^2 = m_\alpha c^2$

Сократим обе части уравнения на $c^2$ и начнем выражать искомую скорость $v_p$:

$\frac{1}{\sqrt{1 - v_p^2/c^2}} - 1 = \frac{m_\alpha}{m_p}$

$\frac{1}{\sqrt{1 - v_p^2/c^2}} = 1 + \frac{m_\alpha}{m_p}$

Чтобы избавиться от корня, преобразуем уравнение:

$\sqrt{1 - \frac{v_p^2}{c^2}} = \frac{1}{1 + \frac{m_\alpha}{m_p}}$

Возведем обе части в квадрат:

$1 - \frac{v_p^2}{c^2} = \frac{1}{(1 + \frac{m_\alpha}{m_p})^2}$

Отсюда выражаем $\frac{v_p^2}{c^2}$:

$\frac{v_p^2}{c^2} = 1 - \frac{1}{(1 + \frac{m_\alpha}{m_p})^2}$

И, наконец, находим итоговую формулу для скорости протона $v_p$:

$v_p = c \sqrt{1 - \frac{1}{(1 + \frac{m_\alpha}{m_p})^2}}$

Теперь проведем вычисления. Сначала найдем отношение масс покоя $\alpha$-частицы и протона:

$\frac{m_\alpha}{m_p} \approx \frac{6,6447 \times 10^{-27} \text{ кг}}{1,6726 \times 10^{-27} \text{ кг}} \approx 3,9726$

Подставим это значение в формулу для скорости:

$v_p \approx c \sqrt{1 - \frac{1}{(1 + 3,9726)^2}} = c \sqrt{1 - \frac{1}{(4,9726)^2}}$

$v_p \approx c \sqrt{1 - \frac{1}{24,7267}} \approx c \sqrt{1 - 0,04044} = c \sqrt{0,95956}$

$v_p \approx c \cdot 0,9796$

Подставляя значение скорости света, получаем:

$v_p \approx 0,9796 \cdot (3 \times 10^8 \text{ м/с}) \approx 2,9388 \times 10^8 \text{ м/с}$

Округлив результат до трех значащих цифр, получаем итоговый ответ.

Ответ: $v_p \approx 2,94 \times 10^8$ м/с.