Номер 9.33, страница 198 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 9. Элементы специальной теории относительности. Элементы релятивистской динамики - номер 9.33, страница 198.

Условие.

9.33*. Энергия мюонов в космических лучах равна приблизительно 3000 МэВ, энергия покоя мюона равна 100 МэВ. Какое расстояние в атмосфере сможет пройти этот мюон за время его жизни по лабораторным часам? Собственное время жизни мюона $t_0 = 2 \cdot 10^{-6}$ с.

Решение.

Дано:

Полная энергия мюона $E = 3000 \text{ МэВ}$

Энергия покоя мюона $E_0 = 100 \text{ МэВ}$

Собственное время жизни мюона $t_0 = 2 \cdot 10^{-6} \text{ с}$

Скорость света в вакууме $c \approx 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}$

Перевод в СИ для энергий не требуется, так как в расчетах будет использоваться их отношение.

Найти:

Расстояние $\text{L}$, которое пройдет мюон в атмосфере по лабораторным часам.

Решение:

Поскольку мюон движется со скоростью, близкой к скорости света (релятивистской скоростью), для решения задачи необходимо использовать формулы специальной теории относительности.

1. Расстояние, которое проходит мюон в лабораторной системе отсчета (связанной с атмосферой), определяется как $L = v \cdot t$, где $\text{v}$ — скорость мюона, а $\text{t}$ — время его жизни в этой системе отсчета.

2. Время жизни мюона в лабораторной системе отсчета $\text{t}$ связано с его собственным временем жизни $t_0$ через эффект замедления времени:

$t = \gamma t_0$

где $\gamma$ — лоренц-фактор, который определяется как $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$.

3. Лоренц-фактор также связывает полную энергию частицы $\text{E}$ с ее энергией покоя $E_0$:

$E = \gamma E_0$

Отсюда мы можем найти лоренц-фактор для мюона:

$\gamma = \frac{E}{E_0} = \frac{3000 \text{ МэВ}}{100 \text{ МэВ}} = 30$

4. Теперь мы можем найти время жизни мюона по лабораторным часам:

$t = \gamma t_0 = 30 \cdot 2 \cdot 10^{-6} \text{ с} = 60 \cdot 10^{-6} \text{ с} = 6 \cdot 10^{-5} \text{ с}$

5. Найдем скорость мюона $\text{v}$ из формулы для лоренц-фактора:

$\gamma^2 = \frac{1}{1 - v^2/c^2} \implies 1 - \frac{v^2}{c^2} = \frac{1}{\gamma^2} \implies \frac{v^2}{c^2} = 1 - \frac{1}{\gamma^2}$

$v = c \sqrt{1 - \frac{1}{\gamma^2}} = c \sqrt{1 - \frac{1}{30^2}} = c \sqrt{1 - \frac{1}{900}} = c \sqrt{\frac{899}{900}}$

Поскольку $\gamma \gg 1$, скорость мюона очень близка к скорости света $\text{c}$.

6. Теперь можно вычислить расстояние $\text{L}$:

$L = v \cdot t = \left(c \sqrt{1 - \frac{1}{\gamma^2}}\right) \cdot (\gamma t_0) = c t_0 \gamma \sqrt{1 - \frac{1}{\gamma^2}} = c t_0 \sqrt{\gamma^2 - 1}$

Подставим числовые значения:

$L = (3 \cdot 10^8 \text{ м/с}) \cdot (2 \cdot 10^{-6} \text{ с}) \cdot \sqrt{30^2 - 1}$

$L = 6 \cdot 10^2 \text{ м} \cdot \sqrt{900 - 1} = 600 \cdot \sqrt{899} \text{ м}$

$\sqrt{899} \approx 29.983$

$L \approx 600 \cdot 29.983 \text{ м} \approx 17990 \text{ м} \approx 18 \text{ км}$

Таким образом, за время своей жизни по лабораторным часам мюон сможет пройти расстояние около 18 км.

Ответ: $L \approx 18 \text{ км}$.