Номер 9.32, страница 198 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 9. Элементы специальной теории относительности. Элементы релятивистской динамики - номер 9.32, страница 198.

Условие.

9.32*. Мезон космических лучей имеет кинетическую энергию, равную $W = 7mc^2$. Во сколько раз собственное время жизни этого мезона меньше времени его жизни в системе отсчёта, связанной с лабораторией?

Решение.

Дано:

Кинетическая энергия мезона $W = 7mc^2$.

Здесь $\text{m}$ - масса покоя мезона, $\text{c}$ - скорость света в вакууме.

Найти:

Во сколько раз собственное время жизни мезона ($\Delta t_0$) меньше времени его жизни в лабораторной системе отсчета ($\Delta t$). Это эквивалентно нахождению отношения $\frac{\Delta t}{\Delta t_0}$.

Решение:

Релятивистская кинетическая энергия $\text{W}$ связана с полной энергией $\text{E}$ и энергией покоя $E_0$ соотношением:

$W = E - E_0$

Полная энергия релятивистской частицы выражается формулой:

$E = \gamma mc^2$

А энергия покоя:

$E_0 = mc^2$

где $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$ - это Лоренц-фактор, а $\text{v}$ - скорость частицы.

Подставим выражения для полной энергии и энергии покоя в формулу для кинетической энергии:

$W = \gamma mc^2 - mc^2 = (\gamma - 1)mc^2$

Согласно условию задачи, кинетическая энергия мезона $W = 7mc^2$. Приравняем это значение к полученному выражению:

$(\gamma - 1)mc^2 = 7mc^2$

Сократив обе части уравнения на $mc^2$, получим:

$\gamma - 1 = 7$

Отсюда находим значение Лоренц-фактора:

$\gamma = 8$

Эффект замедления времени в специальной теории относительности связывает время жизни частицы в лабораторной системе отсчета ($\Delta t$) с ее собственным временем жизни ($\Delta t_0$) следующей формулой:

$\Delta t = \gamma \Delta t_0$

Вопрос задачи состоит в том, чтобы найти, во сколько раз собственное время жизни мезона меньше времени его жизни в лабораторной системе. Это отношение равно $\frac{\Delta t}{\Delta t_0}$.

Из формулы замедления времени находим это отношение:

$\frac{\Delta t}{\Delta t_0} = \gamma$

Так как мы уже вычислили, что $\gamma = 8$, то искомое отношение равно 8.

Ответ: собственное время жизни мезона в 8 раз меньше времени его жизни в системе отсчёта, связанной с лабораторией.