Задание 3, страница 87 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

Задание 3

На основе формул (2), (3) и $v = \frac{E}{B}$ докажите, что в электромагнитной волне плотность энергии магнитного поля равна плотности энергии электрического поля $\frac{\varepsilon\varepsilon_0 E^2}{2} = \frac{B^2}{2\mu\mu_0}$ или $W_{э.п} = W_{м.п}.$

Дано:

Плотность энергии электрического поля: $W_{э.п} = \frac{\varepsilon\varepsilon_0 E^2}{2}$

Плотность энергии магнитного поля: $W_{м.п} = \frac{B^2}{2\mu\mu_0}$

Соотношение между модулями векторов напряженности электрического поля и индукции магнитного поля в электромагнитной волне: $v = \frac{E}{B}$

Скорость распространения электромагнитной волны в среде с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon$ и магнитной проницаемостью $\mu$: $v = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon\varepsilon_0\mu\mu_0}}$ (эта формула известна как формула Максвелла для скорости света в среде и является одной из подразумеваемых формул, на которые ссылается задание).

Здесь $\varepsilon_0$ — электрическая постоянная, $\mu_0$ — магнитная постоянная.

Найти:

Доказать, что в электромагнитной волне плотность энергии магнитного поля равна плотности энергии электрического поля, то есть $W_{э.п} = W_{м.п}$ или $\frac{\varepsilon\varepsilon_0 E^2}{2} = \frac{B^2}{2\mu\mu_0}$.

Решение:

Для доказательства равенства преобразуем выражение для плотности энергии электрического поля $W_{э.п}$, используя данные соотношения.

1. Исходное выражение для плотности энергии электрического поля:

$W_{э.п} = \frac{\varepsilon\varepsilon_0 E^2}{2}$

2. Из соотношения $v = \frac{E}{B}$ выразим напряженность электрического поля $\text{E}$:

$E = v \cdot B$

3. Подставим это выражение для $\text{E}$ в формулу для $W_{э.п}$:

$W_{э.п} = \frac{\varepsilon\varepsilon_0 (v \cdot B)^2}{2} = \frac{\varepsilon\varepsilon_0 v^2 B^2}{2}$

4. Теперь используем формулу для скорости распространения электромагнитной волны в среде $v = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon\varepsilon_0\mu\mu_0}}$. Возведем обе части этой формулы в квадрат, чтобы получить выражение для $v^2$:

$v^2 = \left(\frac{1}{\sqrt{\varepsilon\varepsilon_0\mu\mu_0}}\right)^2 = \frac{1}{\varepsilon\varepsilon_0\mu\mu_0}$

5. Подставим полученное выражение для $v^2$ в преобразованную формулу для $W_{э.п}$:

$W_{э.п} = \frac{\varepsilon\varepsilon_0 B^2}{2} \cdot \left(\frac{1}{\varepsilon\varepsilon_0\mu\mu_0}\right)$

6. Сократим множитель $\varepsilon\varepsilon_0$ в числителе и знаменателе:

$W_{э.п} = \frac{B^2}{2\mu\mu_0}$

7. Полученное выражение в точности совпадает с формулой для плотности энергии магнитного поля $W_{м.п}$.

Следовательно, мы доказали, что $W_{э.п} = W_{м.п}$.

Ответ:

На основе данных формул было доказано, что в электромагнитной волне плотность энергии электрического поля равна плотности энергии магнитного поля: $\frac{\varepsilon\varepsilon_0 E^2}{2} = \frac{B^2}{2\mu\mu_0}$, что и требовалось доказать.