Задание 2, страница 86 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

Задание 2

Запишите уравнение бегущей волны, которая распространяется в направлении, противоположном выбранной оси.

Решение

Уравнение, описывающее колебательный процесс в бегущей волне, связывает смещение `y` частиц среды с их координатой `x` и временем `t`. Для плоской гармонической волны, распространяющейся вдоль одной оси (например, оси `x`), это уравнение имеет вид:

$y(x, t) = A \sin(\omega t \pm kx + \varphi_0)$

или, что эквивалентно при другом выборе начальной фазы:

$y(x, t) = A \cos(\omega t \pm kx + \varphi_0)$

Здесь:

• `A` – амплитуда волны (максимальное смещение точек среды от положения равновесия).
• `\omega` – циклическая (угловая) частота колебаний, связанная с периодом `T` и частотой `\nu` как $\omega = 2\pi/T = 2\pi\nu$.
• `k` – волновое число, связанное с длиной волны `\lambda` как $k = 2\pi/\lambda$.
• `\varphi_0` – начальная фаза, определяющая состояние колебаний в начальный момент времени (`t=0`) в начале координат (`x=0`).
• Выражение `\Phi = \omega t \pm kx + \varphi_0` называется фазой волны.

Знак перед слагаемым `kx` в фазе волны определяет направление ее распространения. Для того чтобы фаза волны `\Phi` оставалась постоянной для точки, которая движется вместе с волной (например, для гребня волны), должно выполняться условие $d\Phi/dt=0$.

1. Если волна распространяется в положительном направлении выбранной оси (вдоль оси `x`), то используется знак «минус». Уравнение принимает вид $y(x, t) = A \sin(\omega t - kx + \varphi_0)$. Фаза $\Phi = \omega t - kx + \varphi_0 = const$. Дифференцируя по времени, получаем $\omega - k \frac{dx}{dt} = 0$, откуда скорость распространения фазы $\frac{dx}{dt} = \frac{\omega}{k} = v > 0$.

2. Если волна распространяется в направлении, противоположном выбранной оси (против оси `x`), то используется знак «плюс». Уравнение принимает вид $y(x, t) = A \sin(\omega t + kx + \varphi_0)$. Фаза $\Phi = \omega t + kx + \varphi_0 = const$. Дифференцируя по времени, получаем $\omega + k \frac{dx}{dt} = 0$, откуда скорость распространения фазы $\frac{dx}{dt} = -\frac{\omega}{k} = -v < 0$.

Таким образом, для волны, распространяющейся в направлении, противоположном выбранной оси, необходимо использовать знак «плюс».

Ответ:

Уравнение бегущей волны, которая распространяется в направлении, противоположном выбранной оси, имеет вид: $y(x, t) = A \sin(\omega t + kx + \varphi_0)$ или $y(x, t) = A \cos(\omega t + kx + \varphi_0)$.