Физика в нашей жизни, страница 80 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

Физика в нашей жизни

Струнные музыкальные инструменты

Интересно знать!

Адырна (рис. 96 a) — один из древнейших казахских струнных инструментов. В его форме отобразилась воинственность кочевников-казахов: он напоминает изогнутый лук воина. Деревянный корпус инструмента легкий, так как он пустотелый. Струны изготавливают из кусков специально выделанной кожи или сплетенных из верблюжьей шерсти нитей. Музыкант играет, перебирая струны. Их в инструменте 13.

Жетыген (рис. 96 б) — семиструнный музыкальный инструмент. Он имеет прямоугольную форму, изготовлен из дерева, струны – из конского волоса. Легенда о жетыгене раскрывает причину использования именно семи струн. Старик, потерявший семерых сыновей, вылил свое горе, исполняя кюи о них. Вспоминая каждого из сыновей, он натягивал новую струну на музыкальном инструменте.

Условие возникновения стоячей волны в струне.

Стоячая волна в струне возникает только в том случае, если длина $ ext{L}$ струны равняется целому числу длин полуволн: $L = n \frac{\lambda}{2}$, где $n = 1, 2, 3 ...$

Набору значений $\lambda$ длин волн соответствует набор возможных частот $\nu_n = \frac{\nu}{\lambda_n}$.

Каждая из частот $\nu_n$ и связанный с ней тип колебания струны называется нормальной модой. Наименьшая частота называется основной частотой, все остальные частоты называются гармониками.

В отличие от груза на пружине или маятника, у которых имеется единственная собственная частота, струна обладает бесконечным числом собственных резонансных частот. На рисунке 96 в изображены несколько типов стоячих волн в струне. Стоячие волны различных типов могут одновременно присутствовать в колебаниях струны.

Рис. 96. а) адырна; б) жетыген; в) гармоники

Задание

Определите частоту основной моды колебаний и гармоник у струны из конского волоса длиной $l = 0,3$ м. Скорость звука в волосе примите равным $1500$ м/с.

Каким способом можно изменить основную моду звучания струны?

Визуализация звуковых волн

Существует несколько способов демонстрации стоячей волны, один из них — фигуры Хладни (рис. 97). Немецкий физик Эрнст Хладни получал узор, посыпая пластинку песком и проводя по краю смычком. Движения смычка заставляли пластинку колебаться на некоторой резонансной частоте. Песок скапливался и лежал неподвижно в узлах, а на участках, где отраженная волна усиливала бегущую, песок смещался.

Рис. 97. Фигуры Хладни, полученные с помощью колебаний динамика

Интересно знать!

В Шотландии есть рослинская капелла св. Матвея, на одной из арок которой есть 213 резных каменных кубов, с вырезанным на них геометрическим рисунком. Многие исследователи пытались понять, что зашифровано в рисунках на кубах. Отставной генерал ВВС Томас Митчел со своим сыном, пианистом Стюартом Митчелом предложили оригинальный способ расшифровки послания. Они сопоставили геометрические рисунки с фигурами Хладни и пришли к выводу, что на кубах записаны ноты. Собрав ноты воедино и творчески обработав их, они представили миру произведение «Рослинский Мотет».

Определите частоту основной моды колебаний и гармоник у струны из конского волоса длиной l = 0,3 м. Скорость звука в волосе примите равным 1500 м/с.

Дано:

Длина струны, $l = 0,3$ м
Скорость распространения волны в струне, $v = 1500$ м/с

Найти:

Частоту основной моды $ν_1$ и частоты гармоник $ν_n$.

Решение:

Условие образования стоячей волны в струне, закрепленной на двух концах, заключается в том, что ее длина $\text{l}$ должна быть равна целому числу полуволн: $l = n \frac{\lambda_n}{2}$, где $n = 1, 2, 3, ...$ - номер гармоники, а $\lambda_n$ - длина волны, соответствующая этой гармонике.

Из этого условия можно выразить длину волны для n-й гармоники: $\lambda_n = \frac{2l}{n}$.

Частота колебаний $ν_n$ связана со скоростью волны $\text{v}$ и длиной волны $\lambda_n$ известным соотношением: $ν_n = \frac{v}{\lambda_n}$.

Теперь подставим выражение для $\lambda_n$ в формулу для частоты, чтобы связать частоту с параметрами струны: $ν_n = \frac{v}{\frac{2l}{n}} = n \frac{v}{2l}$.

Основная мода колебаний (основной тон, или первая гармоника) соответствует значению $n=1$. Ее частота $ν_1$ называется основной частотой: $ν_1 = \frac{v}{2l}$.

Вычислим значение основной частоты для данной струны: $ν_1 = \frac{1500 \text{ м/с}}{2 \cdot 0,3 \text{ м}} = \frac{1500}{0,6} \text{ Гц} = 2500 \text{ Гц}$.

Частоты остальных гармоник (их также называют обертонами) являются целыми кратными основной частоте: $ν_n = n \cdot ν_1$.

Так, частота второй гармоники ($n=2$): $ν_2 = 2 \cdot ν_1 = 2 \cdot 2500 \text{ Гц} = 5000 \text{ Гц}$.

Частота третьей гармоники ($n=3$): $ν_3 = 3 \cdot ν_1 = 3 \cdot 2500 \text{ Гц} = 7500 \text{ Гц}$, и так далее для $n = 4, 5, ...$

Ответ: Частота основной моды колебаний составляет $2500$ Гц. Частоты гармоник равны $ν_n = n \cdot 2500 \text{ Гц}$, где $n = 2, 3, 4, ...$ (то есть $5000$ Гц, $7500$ Гц, $10000$ Гц и т.д.).

Каким способом можно изменить основную моду звучания струны?

Решение:

Основная мода звучания струны определяется ее основной частотой колебаний $ν_1$. Как мы установили ранее, эта частота вычисляется по формуле: $ν_1 = \frac{v}{2l}$.

Скорость распространения поперечной волны $\text{v}$ в струне не является постоянной величиной, а зависит от физических свойств самой струны: ее силы натяжения $\text{T}$ и линейной плотности $\mu$ (массы, приходящейся на единицу длины). Эта зависимость выражается формулой: $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$.

Объединив обе формулы, получим полное выражение для основной частоты струны: $ν_1 = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$.

Анализ этой итоговой формулы позволяет определить три способа изменения основной частоты, а следовательно, и основной моды звучания струны:
1. Изменение длины струны ($\text{l}$). Если уменьшить длину колеблющейся части струны (например, прижав ее к ладу на грифе гитары), знаменатель в формуле уменьшится, и частота $ν_1$ возрастет. Звук станет выше.
2. Изменение силы натяжения ($\text{T}$). Если увеличить натяжение струны (например, вращая колок), числитель под корнем увеличится, что приведет к росту частоты $ν_1$. Звук также станет выше. Ослабление струны даст обратный эффект.
3. Изменение линейной плотности ($\mu$). Этот параметр зависит от толщины струны и материала, из которого она изготовлена. На музыкальных инструментах для получения низких нот используют более толстые или тяжелые струны (с большим $\mu$). Согласно формуле, увеличение $\mu$ в знаменателе под корнем приводит к уменьшению частоты $ν_1$ и более низкому звуку.

Ответ: Основную моду звучания струны можно изменить тремя способами: изменением ее рабочей длины, изменением силы ее натяжения или изменением ее линейной плотности (то есть толщины или материала).