Номер 3, страница 79 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

3. Разность фаз двух интерферирующих волн равна $\frac{\pi}{2}$. Определите минимальную разность хода этих волн, выразив ее в длинах волн.

Дано:

Разность фаз двух интерферирующих волн $ \Delta\phi = \frac{\pi}{2} $.

Найти:

Минимальную разность хода $ \Delta d_{min} $, выраженную в длинах волн $ \lambda $.

Решение:

Связь между разностью фаз $ \Delta\phi $ и разностью хода $ \Delta d $ для двух когерентных волн, распространяющихся в однородной среде, описывается формулой, которая учитывает, что фаза является периодической величиной с периодом $ 2\pi $.

Полная разность фаз в точке наблюдения складывается из начальной разности фаз источников и разности фаз, набегающей из-за разности хода. Если предположить, что источники колеблются в фазе (начальная разность фаз равна нулю), то вся разность фаз обусловлена разностью хода:

$ \Delta\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta d $

Однако, одна и та же ситуация в интерференционной картине будет наблюдаться, если разность фаз отличается на целое число $ 2\pi $. Поэтому общее условие для разности фаз $ \Delta\phi $ можно записать как:

$ \frac{2\pi}{\lambda} \Delta d = \Delta\phi + 2\pi k $

где $\text{k}$ — любое целое число ($ k = 0, \pm1, \pm2, ... $).

Подставим в это уравнение заданную разность фаз $ \Delta\phi = \frac{\pi}{2} $:

$ \frac{2\pi}{\lambda} \Delta d = \frac{\pi}{2} + 2\pi k $

Теперь выразим разность хода $ \Delta d $:

$ \Delta d = \frac{\lambda}{2\pi} \left( \frac{\pi}{2} + 2\pi k \right) $

Упростим выражение:

$ \Delta d = \lambda \left( \frac{\pi}{2 \cdot 2\pi} + \frac{2\pi k}{2\pi} \right) = \lambda \left( \frac{1}{4} + k \right) $

Нам необходимо найти минимальную неотрицательную разность хода ($ \Delta d \ge 0 $). Для этого нужно выбрать наименьшее целое число $\text{k}$, при котором выражение $ (\frac{1}{4} + k) $ будет неотрицательным.

Проверим возможные значения $\text{k}$:

При $ k = 0 $, $ \Delta d = \lambda \left( \frac{1}{4} + 0 \right) = \frac{1}{4}\lambda $.

При $ k = 1 $, $ \Delta d = \lambda \left( \frac{1}{4} + 1 \right) = \frac{5}{4}\lambda $.

При $ k = -1 $, $ \Delta d = \lambda \left( \frac{1}{4} - 1 \right) = -\frac{3}{4}\lambda $. Так как разность хода — это разница расстояний, она не может быть отрицательной.

Следовательно, наименьшее неотрицательное значение разности хода достигается при $ k=0 $.

Таким образом, минимальная разность хода равна:

$ \Delta d_{min} = \frac{1}{4}\lambda $

Ответ: Минимальная разность хода волн равна $ \frac{1}{4}\lambda $ или $ 0.25\lambda $.