Номер 3, страница 131 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

3. Круглый бассейн $R = 5 \text{ м}$ залит до краев водой. Над центром бассейна на высоте $h = 3 \text{ м}$ от поверхности воды висит лампа. На какое максимальное расстояние от края бассейна может отойти человек, рост которого $H = 1,8 \text{ м}$, чтобы все еще видеть отражение лампы в воде??

Дано:

Радиус бассейна: $R = 5$ м

Высота лампы над водой: $h = 3$ м

Рост человека (высота глаз): $H = 1,8$ м

Найти:

Максимальное расстояние от края бассейна $x_{max}$.

Решение:

Человек видит отражение лампы в воде, когда луч света от лампы отражается от поверхности воды и попадает ему в глаза. По закону отражения, угол падения равен углу отражения.

Чтобы найти максимальное расстояние, на которое человек может отойти от бассейна и все еще видеть отражение, нужно рассмотреть предельный случай. Этот случай наступает, когда точка отражения света находится на самом краю бассейна. Если человек отойдет дальше, точка отражения сместится за пределы водной поверхности бассейна, и отражение станет невидимым.

Рассмотрим геометрическую схему в вертикальном разрезе, проходящем через центр бассейна, лампу и человека. Лампа (точка L) находится на высоте $\text{h}$ над центром бассейна (точка O). Глаза человека (точка E) находятся на высоте $\text{H}$ над землей. Человек стоит на расстоянии $\text{x}$ от края бассейна (точка P). Радиус бассейна равен $\text{R}$.

В предельном случае луч света от лампы падает на край бассейна в точке P, отражается и попадает в глаза человека E. Пусть $\alpha$ - угол падения луча на поверхность воды, а $\beta$ - угол отражения. Согласно закону отражения, $\alpha = \beta$. Удобнее использовать углы, которые лучи составляют с поверхностью воды (горизонталью). Эти углы также будут равны.

Рассмотрим два прямоугольных треугольника:

1. Треугольник, образованный лампой, центром бассейна и краем бассейна. Его катеты: высота лампы $\text{h}$ и радиус бассейна $\text{R}$. Угол между падающим лучом и поверхностью воды найдем из соотношения:

$\operatorname{tg}(\alpha) = \frac{h}{R}$

2. Треугольник, образованный глазами человека, точкой отражения на краю бассейна и проекцией глаз на землю. Его катеты: рост человека $\text{H}$ и искомое расстояние от края бассейна $\text{x}$. Угол между отраженным лучом и поверхностью воды найдем из соотношения:

$\operatorname{tg}(\beta) = \frac{H}{x}$

Так как углы падения и отражения (относительно нормали) равны, то равны и углы, которые лучи образуют с горизонтальной поверхностью воды. Следовательно, $\alpha = \beta$, и мы можем приравнять их тангенсы:

$\frac{h}{R} = \frac{H}{x}$

Из этой пропорции выражаем искомое расстояние $\text{x}$:

$x \cdot h = R \cdot H$

$x = \frac{R \cdot H}{h}$

Подставим числовые значения:

$x = \frac{5 \text{ м} \cdot 1,8 \text{ м}}{3 \text{ м}} = \frac{9}{3} \text{ м} = 3 \text{ м}$

Ответ: максимальное расстояние от края бассейна, на которое может отойти человек, чтобы все еще видеть отражение лампы в воде, составляет 3 м.