Задание 3, страница 134 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

Задание 3

1. На основе формулы (7) полагая, что плоское зеркало можно считать сферическим с радиусом кривизны, стремящимся к бесконечности $R \to \infty$, докажите, что $d = -f$.

2. Докажите, что лучи, параллельные главной оптической оси, пересекаются на расстоянии $f = \frac{R}{2}$ от вершины зеркала, используя формулу (7).

1. Дано:

Формула сферического зеркала (предполагаемая формула (7)): $ \frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{2}{R} $, где $\text{d}$ — расстояние от предмета до зеркала, $\text{f}$ — расстояние от изображения до зеркала, $\text{R}$ — радиус кривизны зеркала.

Условие для плоского зеркала: радиус кривизны стремится к бесконечности, $ R \to \infty $.

Найти:

Доказать, что $ d = -f $.

Решение:

Возьмем формулу сферического зеркала. По условию, плоское зеркало можно считать сферическим с бесконечно большим радиусом кривизны. Найдем предел правой части уравнения при $ R \to \infty $:

$ \lim_{R\to\infty} \frac{2}{R} = 0 $

Следовательно, для плоского зеркала формула зеркала принимает вид:

$ \frac{1}{d} + \frac{1}{f} = 0 $

Перенесем слагаемое $ \frac{1}{f} $ в правую часть уравнения:

$ \frac{1}{d} = -\frac{1}{f} $

Чтобы получить соотношение между $\text{d}$ и $\text{f}$, возьмем обратные величины от обеих частей равенства:

$ d = -f $

Это и есть искомое соотношение. Оно показывает, что для плоского зеркала изображение является мнимым (знак "минус" при положительном $\text{d}$) и находится на таком же расстоянии за зеркалом, на каком предмет находится перед ним. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказательство основано на предельном переходе $ R \to \infty $ в формуле сферического зеркала $ \frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{2}{R} $, что приводит к уравнению для плоского зеркала $ \frac{1}{d} + \frac{1}{f} = 0 $, из которого напрямую следует $ d = -f $.

2. Дано:

Формула сферического зеркала (предполагаемая формула (7)): $ \frac{1}{d} + \frac{1}{f_{изоб}} = \frac{2}{R} $, где $\text{d}$ — расстояние до предмета, $f_{изоб}$ — расстояние до изображения, $\text{R}$ — радиус кривизны.

Условие: лучи, параллельные главной оптической оси, соответствуют предмету, находящемуся на бесконечном расстоянии от зеркала, то есть $ d \to \infty $.

Найти:

Доказать, что расстояние $\text{f}$, на котором пересекаются лучи (фокусное расстояние), равно $ f = \frac{R}{2} $.

Решение:

Лучи, идущие параллельно главной оптической оси, после отражения от сферического зеркала собираются в точке, называемой главным фокусом. Расстояние от вершины зеркала до этой точки является фокусным расстоянием, которое в условии обозначено как $\text{f}$. С точки зрения формулы зеркала, параллельные лучи исходят от бесконечно удаленного объекта ($d \to \infty$), а точка их пересечения является его изображением. Следовательно, фокусное расстояние $\text{f}$ равно расстоянию до изображения $f_{изоб}$ при $d \to \infty$.

Подставим условие $ d \to \infty $ в формулу сферического зеркала. Величина, обратная бесконечно большой, стремится к нулю:

$ \lim_{d\to\infty} \frac{1}{d} = 0 $

Таким образом, формула зеркала упрощается:

$ 0 + \frac{1}{f_{изоб}} = \frac{2}{R} $

$ \frac{1}{f_{изоб}} = \frac{2}{R} $

Выразим $f_{изоб}$, взяв обратные величины от обеих частей равенства:

$ f_{изоб} = \frac{R}{2} $

Поскольку $f_{изоб}$ в данном случае — это и есть фокусное расстояние $\text{f}$, мы доказали, что:

$ f = \frac{R}{2} $

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказательство основано на подстановке условия для параллельных лучей ($ d \to \infty $) в формулу сферического зеркала $ \frac{1}{d} + \frac{1}{f_{изоб}} = \frac{2}{R} $. Это приводит к соотношению $ \frac{1}{f_{изоб}} = \frac{2}{R} $, из которого следует, что расстояние до точки пересечения лучей, то есть фокусное расстояние, равно $ f = \frac{R}{2} $.