Задание 5, страница 134 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

Задание 5

На основе формулы (10) докажите, что расстояние от изображения до зеркала для выпуклого зеркала имеет только отрицательное значение. Выпуклое зеркало дает только мнимое изображение. $\frac{1}{d} + \frac{1}{f} = -\frac{1}{F}$ (10)

Решение

В задаче требуется доказать, что расстояние от изображения до зеркала для выпуклого зеркала всегда отрицательно, используя формулу сферического зеркала. Формула (10) для выпуклого (рассеивающего) зеркала имеет вид:

$$ \frac{1}{d} + \frac{1}{f} = -\frac{1}{F} $$

В этой формуле приняты следующие обозначения:

• $\text{d}$ — расстояние от предмета до зеркала.

• $\text{f}$ — расстояние от изображения до зеркала.

• $\text{F}$ — абсолютное значение (модуль) фокусного расстояния зеркала.

Знак минус в правой части формулы указывает на то, что главный фокус у выпуклого зеркала мнимый, то есть он находится за отражающей поверхностью.

Наша цель — доказать, что величина $\text{f}$ всегда отрицательна ($f < 0$).

Для этого выразим из формулы величину $1/f$:

$$ \frac{1}{f} = -\frac{1}{F} - \frac{1}{d} $$

Вынесем общий знак минус за скобки и приведем выражение в скобках к общему знаменателю:

$$ \frac{1}{f} = - \left( \frac{1}{F} + \frac{1}{d} \right) = - \frac{d+F}{dF} $$

Теперь проанализируем знаки величин, входящих в правую часть полученного уравнения:

1. Расстояние от предмета до зеркала $\text{d}$ для любого реального объекта, расположенного перед зеркалом, является положительной величиной. Таким образом, $d > 0$.

2. Фокусное расстояние $\text{F}$ является геометрической характеристикой зеркала, и его абсолютное значение по определению всегда положительно. Таким образом, $F > 0$.

Исходя из этого, рассмотрим знаки числителя и знаменателя дроби $\frac{d+F}{dF}$:

• Числитель $(d+F)$ является суммой двух положительных чисел, следовательно, он всегда положителен: $(d+F) > 0$.

• Знаменатель $(dF)$ является произведением двух положительных чисел, следовательно, он также всегда положителен: $(dF) > 0$.

Поскольку и числитель, и знаменатель дроби положительны, то и вся дробь $\frac{d+F}{dF}$ является положительной величиной.

Тогда выражение для $1/f$ можно записать как:

$$ \frac{1}{f} = -(\text{положительное число}) $$

Это означает, что величина $1/f$ всегда отрицательна, то есть $\frac{1}{f} < 0$.

Если величина, обратная $\text{f}$, отрицательна, то и сама величина $\text{f}$ также должна быть отрицательной: $f < 0$.

Таким образом, мы доказали, что расстояние от изображения до выпуклого зеркала всегда имеет отрицательное значение, независимо от расстояния до предмета $\text{d}$.

Согласно правилу знаков, принятому в геометрической оптике, отрицательное значение расстояния до изображения ($f < 0$) означает, что изображение является мнимым. Мнимое изображение формируется на пересечении продолжений отраженных лучей и находится за зеркалом.

Ответ: Из формулы выпуклого зеркала $\frac{1}{d} + \frac{1}{f} = -\frac{1}{F}$ было выведено, что $\frac{1}{f} = -\frac{d+F}{dF}$. Поскольку расстояние до реального предмета $d > 0$ и фокусное расстояние $F > 0$, то дробь $\frac{d+F}{dF}$ всегда положительна. Из-за знака минус перед дробью следует, что $1/f$ всегда отрицательно, а значит и само расстояние до изображения $\text{f}$ всегда отрицательно ($f < 0$). Отрицательное значение $\text{f}$ по определению означает, что изображение является мнимым.