Задание 1, страница 132 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

Задание 1

Используя закон отражения света, докажите, что изображение предмета в плоском зеркале такого же размера, что и сам предмет, находится за зеркалом на расстоянии, равном расстоянию от зеркала до предмета. Изображение является мнимым, обладает зеркальной симметрией (рис. 158).

Рис. 158. Изображение точечного источника света в плоском зеркале

Для доказательства воспользуемся геометрической оптикой и законом отражения света. Рассмотрим точечный источник света S, расположенный перед плоским зеркалом, как показано на рисунке 158.

Дано:

Плоское зеркало.
Точечный источник света S.
d - расстояние от источника S до зеркала.
f - расстояние от изображения S' до зеркала.
Закон отражения света: угол падения равен углу отражения ($ \alpha = \beta $).

Найти:

Доказать, что:
1. Расстояние от предмета до зеркала равно расстоянию от изображения до зеркала ($ d = f $).
2. Изображение является мнимым.
3. Размер изображения равен размеру предмета.
4. Изображение обладает зеркальной симметрией относительно предмета.

Решение:

Доказательство того, что расстояние от предмета до зеркала равно расстоянию от изображения до зеркала ($d = f$)
Рассмотрим луч света SA, падающий на зеркало в точке A. Проведем перпендикуляр SO из точки S к плоскости зеркала. Длина этого перпендикуляра и есть расстояние от предмета до зеркала, $d = SO$.
Изображение S' предмета S лежит на продолжении отраженного луча. Построим перпендикуляр S'O из точки S' к плоскости зеркала. Длина этого перпендикуляра — расстояние от изображения до зеркала, $f = S'O$.
Рассмотрим два прямоугольных треугольника: $ \triangle SOA $ и $ \triangle S'OA $.
1. Сторона OA является общей для обоих треугольников.
2. Углы $ \angle SOA $ и $ \angle S'OA $ равны $90^\circ$ по построению.
3. Теперь докажем равенство углов $ \angle SAO $ и $ \angle S'AO $. Согласно закону отражения света, угол падения $ \alpha_1 $ равен углу отражения $ \beta_1 $. Угол $ \alpha_1 $ — это угол между падающим лучом SA и нормалью к зеркалу в точке A (горизонтальная линия на рисунке). Угол $ \beta_1 $ — это угол между отраженным лучом и той же нормалью.
Линия SS' перпендикулярна зеркалу, а нормаль в точке A параллельна линии SS'.
Следовательно, угол $ \angle ASO $ равен углу падения $ \alpha_1 $ как накрест лежащие углы при параллельных прямых (нормаль в т.А и прямая SO) и секущей SA. $ \angle ASO = \alpha_1 $.
Угол $ \angle AS'O $ равен углу $ \beta_1 $ как соответственные углы при параллельных прямых (нормаль в т.А и прямая S'O) и секущей S'A. $ \angle AS'O = \beta_1 $.
Так как по закону отражения $ \alpha_1 = \beta_1 $, то и $ \angle ASO = \angle AS'O $.
Таким образом, прямоугольные треугольники $ \triangle SOA $ и $ \triangle S'OA $ равны по катету (OA) и противолежащему острому углу ($ \angle ASO = \angle AS'O $).
Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: $ SO = S'O $, то есть $ d = f $.

Ответ: Расстояние от предмета до плоского зеркала равно расстоянию от его изображения до зеркала.

Доказательство того, что изображение является мнимым
Как видно из построения на рисунке, изображение точки S' образуется на пересечении не самих отраженных лучей, а их продолжений (показаны пунктиром), проведенных в зазеркальное пространство. Сами же отраженные лучи от зеркала расходятся. Изображение, образованное продолжениями расходящихся лучей, называется мнимым. Такое изображение нельзя получить на экране.

Ответ: Изображение в плоском зеркале является мнимым, так как оно формируется пересечением продолжений отраженных лучей.

Доказательство того, что размер изображения равен размеру предмета
Рассмотрим протяженный предмет, например, отрезок PQ, расположенный перед зеркалом. Каждая точка предмета является источником света. Изображение отрезка P'Q' будет состоять из изображений всех его точек.
Как мы доказали выше, для любой точки предмета, например P, ее изображение P' находится на том же расстоянии от зеркала, что и сама точка, и на перпендикуляре, проведенном из точки к зеркалу. То же самое верно для точки Q и ее изображения Q'.
Если предмет PQ расположить параллельно зеркалу, то отрезки PP' и QQ' будут перпендикулярны плоскости зеркала и равны между собой. Фигура PQQ'P' будет являться прямоугольником. В прямоугольнике противоположные стороны равны, следовательно, $PQ = P'Q' $. Если предмет расположен под углом, доказательство аналогично и основано на том, что для каждой точки предмета выполняется условие $d=f$.

Ответ: Размер изображения в плоском зеркале равен размеру самого предмета.

Доказательство того, что изображение обладает зеркальной симметрией
Зеркальной симметрией относительно плоскости называется такое свойство, при котором для любой точки объекта S ее симметричное отображение S' лежит на перпендикуляре, опущенном из точки S на эту плоскость, по другую сторону от плоскости и на том же расстоянии.
Как мы доказали в первом пункте, для любой точки предмета S ее изображение S' расположено так, что отрезок SS' перпендикулярен плоскости зеркала, а само зеркало делит этот отрезок пополам ($d=f$). Это в точности соответствует определению зеркальной симметрии, где плоскостью симметрии выступает плоскость зеркала.

Ответ: Изображение в плоском зеркале является зеркально-симметричным отражением предмета относительно плоскости зеркала.