Ответьте на вопросы, страница 134 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

Ответьте на вопросы

1. Почему фокусное расстояние сферического зеркала равно половине радиуса кривизны $F = \frac{R}{2}$ ? (8)

2. Как из формулы (7) получить уравнения Гаусса для сферического зеркала: $ \frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F} $ . (9)

1. Почему фокусное расстояние сферического зеркала равно половине радиуса кривизны $F = R/2$? (8)

Решение

Рассмотрим вогнутое сферическое зеркало. Главная оптическая ось – это прямая, проходящая через центр кривизны зеркала $\text{C}$ и его полюс (вершину) $\text{P}$. Радиус кривизны $\text{R}$ – это расстояние от центра кривизны до полюса, то есть $R = CP$. Фокусное расстояние $\text{F}$ – это расстояние от полюса до главного фокуса $F'$, то есть $F = PF'$.

По определению, главный фокус – это точка на главной оптической оси, в которой собираются после отражения лучи, падающие на зеркало параллельно этой оси.

Пусть на зеркало в точке $\text{M}$ падает луч $\text{AM}$, параллельный главной оптической оси $\text{CP}$. После отражения этот луч пройдет через фокус $F'$. Линия $\text{CM}$, соединяющая центр кривизны $\text{C}$ с точкой падения луча $\text{M}$, является нормалью к поверхности зеркала в этой точке.

Согласно закону отражения света, угол падения $\text{i}$ равен углу отражения $\text{r}$. Угол падения – это угол между падающим лучом $\text{AM}$ и нормалью $\text{CM}$, то есть $i = \angle AMC$. Угол отражения – это угол между отраженным лучом $MF'$ и нормалью $\text{CM}$, то есть $r = \angle CMF'$.

Поскольку падающий луч $\text{AM}$ параллелен главной оптической оси $\text{CP}$, то накрест лежащие углы $\angle AMC$ и $\angle MCP$ равны. Обозначим этот угол как $\alpha$. Таким образом, $i = \angle AMC = \angle MCP = \alpha$.

Так как угол падения равен углу отражения, $r = i = \alpha$. Следовательно, $\angle CMF' = \alpha$.

Рассмотрим треугольник $\triangle CMF'$. В нем два угла при основании $\text{CM}$ равны: $\angle MCF' = \alpha$ и $\angle CMF' = \alpha$. Это означает, что треугольник $\triangle CMF'$ является равнобедренным, и его боковые стороны равны: $CF' = MF'$.

Данное рассуждение справедливо для любых лучей. Однако формула $F = R/2$ является точной только в параксиальном приближении, то есть для лучей, которые проходят очень близко к главной оптической оси. Для таких лучей точка падения $\text{M}$ находится очень близко к полюсу зеркала $\text{P}$. В этом случае можно считать, что длина отрезка $MF'$ приблизительно равна длине отрезка $PF'$. А $PF'$ – это и есть фокусное расстояние $\text{F}$.

Итак, в параксиальном приближении: $MF' \approx PF' = F$.

Из нашего равнобедренного треугольника мы знаем, что $CF' = MF'$, следовательно, $CF' \approx F$.

Радиус кривизны $\text{R}$ равен длине отрезка $\text{CP}$. Из рисунка видно, что $CP = CF' + F'P$.

Подставляя наши приближенные значения, получаем:

$R \approx F + F = 2F$

Отсюда следует, что фокусное расстояние равно половине радиуса кривизны:

$F = \frac{R}{2}$

Ответ: Фокусное расстояние сферического зеркала равно половине радиуса его кривизны в рамках параксиального приближения (для лучей, близких к главной оптической оси). Это следует из закона отражения света и геометрии равнобедренного треугольника, образованного центром кривизны, точкой падения луча и фокусом, с последующим приближением для малых углов падения.

2. Как из формулы (7) получить уравнения Гаусса для сферического зеркала: $ \frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F} $ (9)

Решение

Поскольку формула (7) в условии не приведена, предположим, что она представляет собой стандартное для вывода формулы зеркала соотношение, связывающее углы, которые образуют с главной оптической осью луч от предмета, луч к изображению и луч, проведенный из центра кривизны. Это соотношение для вогнутого зеркала имеет вид:

$\alpha + \beta = 2\gamma \quad (7)$

где (в параксиальном приближении, то есть для малых углов):

• $\alpha$ – угол, который образует с главной оптической осью луч, идущий из точки на предмете к зеркалу.
• $\beta$ – угол, который образует с главной оптической осью отраженный луч, идущий к соответствующей точке изображения.
• $\gamma$ – угол, который образует с главной оптической осью радиус, проведенный из центра кривизны $\text{C}$ в точку падения луча на зеркало.

Рассмотрим луч, выходящий из точки предмета на оси на расстоянии $\text{d}$ от полюса зеркала, падающий на зеркало на высоте $\text{h}$ от главной оптической оси и после отражения пересекающий ось в точке изображения на расстоянии $\text{f}$ от полюса. Радиус кривизны зеркала равен $\text{R}$.

В приближении малых углов (параксиальное приближение) можно считать, что тангенс угла примерно равен самому углу (в радианах). Тогда:

$\alpha \approx \tan{\alpha} = \frac{h}{d}$

$\beta \approx \tan{\beta} = \frac{h}{f}$

$\gamma \approx \tan{\gamma} = \frac{h}{R}$

Подставим эти выражения в предполагаемую формулу (7):

$\frac{h}{d} + \frac{h}{f} = 2 \cdot \frac{h}{R}$

Сократим обе части уравнения на высоту $\text{h}$ (так как $h \ne 0$):

$\frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{2}{R}$

Это уже формула сферического зеркала, связывающая расстояния до предмета и изображения с радиусом кривизны. Чтобы получить уравнение (9), воспользуемся соотношением (8) из предыдущего вопроса, которое связывает фокусное расстояние $\text{F}$ с радиусом кривизны $\text{R}$:

$F = \frac{R}{2}$

Из этого соотношения следует, что $\frac{2}{R} = \frac{1}{F}$.

Заменим в нашей формуле выражение $\frac{2}{R}$ на $\frac{1}{F}$:

$\frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F}$

Таким образом, мы получили искомое уравнение Гаусса для сферического зеркала (9).

Ответ: Предполагая, что формула (7) является соотношением углов $\alpha + \beta = 2\gamma$, уравнение Гаусса (9) получается путем выражения этих углов через расстояния $d, f, R$ и высоту падения луча $\text{h}$ в параксиальном приближении. После подстановки и сокращения на $\text{h}$ получается формула $\frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{2}{R}$. Дальнейшая замена $\frac{2}{R}$ на $\frac{1}{F}$ на основании соотношения (8) дает итоговое уравнение $\frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F}$.