Номер 4, страница 89 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

4. Определите наибольший порядок $\text{k}$ спектра для желтого цвета с длиной волны $\lambda = 589 \text{ нм}$, если постоянная дифракционной решетки $d = 2 \text{ мкм}$.

Дано:

Длина волны желтого цвета, $\lambda = 589$ нм
Постоянная дифракционной решетки, $d = 2$ мкм

Перевод в систему СИ:
$\lambda = 589 \cdot 10^{-9}$ м
$d = 2 \cdot 10^{-6}$ м

Найти:

Наибольший порядок спектра $k_{max}$

Решение:

Условие наблюдения максимумов интенсивности света при дифракции на решетке задается формулой дифракционной решетки: $d \sin\varphi = k\lambda$ где $\text{d}$ — постоянная решетки, $\varphi$ — угол дифракции, под которым наблюдается максимум, $\text{k}$ — порядок спектра (целое число), а $\lambda$ — длина волны падающего света.

Наибольший порядок спектра ($k_{max}$) соответствует максимально возможному углу дифракции. Максимальное значение, которое может принимать синус угла, равно 1. Это соответствует углу дифракции $\varphi = 90^\circ$. При таком угле дифрагированные лучи распространяются вдоль плоскости решетки.

Следовательно, для нахождения $k_{max}$ мы должны использовать предельное условие: $d \sin(90^\circ) = d \cdot 1 = d$

Из формулы дифракционной решетки получаем: $d \ge k \lambda$ Отсюда, максимальный порядок $\text{k}$ должен удовлетворять неравенству: $k \le \frac{d}{\lambda}$

Подставим в это неравенство числовые значения из условия задачи: $k \le \frac{2 \cdot 10^{-6} \text{ м}}{589 \cdot 10^{-9} \text{ м}}$

Произведем вычисления: $k \le \frac{2000 \cdot 10^{-9} \text{ м}}{589 \cdot 10^{-9} \text{ м}} = \frac{2000}{589} \approx 3,395$

Поскольку порядок спектра $\text{k}$ по определению является целым числом, его наибольшее возможное значение — это целая часть от полученного результата. $k_{max} = 3$

Ответ: наибольший порядок спектра для данных условий равен 3.