Номер 2, страница 89 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

2. Дифракционная решетка расположена параллельно экрану на расстоянии 0,7 м от него. Определите количество штрихов на 1 мм для этой дифракционной решетки, если при нормальном падении на нее светового пучка с длиной волны 430 нм первый дифракционный максимум на экране находится на расстоянии 3 см от центральной светлой полосы. Считать, что $ \sin\varphi \approx \operatorname{tg}\varphi $.

Дано:

Расстояние от решетки до экрана $L = 0.7$ м

Длина волны светового пучка $\lambda = 430$ нм

Порядок дифракционного максимума $k = 1$

Расстояние от центральной полосы до первого максимума $x = 3$ см

Условие для малых углов: $\sin\phi \approx \text{tg}\phi$

$L = 0.7 \text{ м}$
$\lambda = 430 \text{ нм} = 430 \cdot 10^{-9} \text{ м} = 4.3 \cdot 10^{-7} \text{ м}$
$x = 3 \text{ см} = 3 \cdot 10^{-2} \text{ м} = 0.03 \text{ м}$

Найти:

Количество штрихов на 1 мм, $\text{N}$.

Решение:

Условие наблюдения дифракционного максимума для дифракционной решетки определяется формулой:

$d \sin\phi = k\lambda$

где $\text{d}$ – период дифракционной решетки (расстояние между соседними штрихами), $\phi$ – угол, под которым наблюдается максимум, $\text{k}$ – порядок максимума, $\lambda$ – длина волны света.

Из геометрии установки можно определить тангенс угла дифракции $\phi$. Он равен отношению расстояния от центрального максимума до максимума k-го порядка на экране ($\text{x}$) к расстоянию от решетки до экрана ($\text{L}$):

$\text{tg}\phi = \frac{x}{L}$

Согласно условию задачи, для малых углов дифракции можно считать, что $\sin\phi \approx \text{tg}\phi$. Поэтому:

$\sin\phi \approx \frac{x}{L}$

Подставим это приближение в формулу условия максимума:

$d \frac{x}{L} = k\lambda$

Отсюда можно выразить период решетки $\text{d}$:

$d = \frac{k\lambda L}{x}$

Подставим числовые значения в систему СИ:

$d = \frac{1 \cdot 430 \cdot 10^{-9} \text{ м} \cdot 0.7 \text{ м}}{0.03 \text{ м}} = \frac{301 \cdot 10^{-9} \text{ м}^2}{0.03 \text{ м}} \approx 1.0033 \cdot 10^{-5} \text{ м}$

Нам нужно найти количество штрихов на 1 миллиметр, обозначим его $\text{N}$. Эта величина является обратной периоду решетки, выраженному в миллиметрах.

Сначала переведем период решетки $\text{d}$ из метров в миллиметры:

$d \approx 1.0033 \cdot 10^{-5} \text{ м} = 1.0033 \cdot 10^{-5} \cdot 1000 \text{ мм} = 1.0033 \cdot 10^{-2} \text{ мм}$

Теперь найдем количество штрихов на 1 мм:

$N = \frac{1}{d} = \frac{1}{1.0033 \cdot 10^{-2} \text{ мм}} \approx 99.67 \text{ мм}^{-1}$

Округляя до целого числа, получаем 100 штрихов на миллиметр.

Ответ: количество штрихов на 1 мм для этой дифракционной решетки составляет приблизительно 100.