Номер 5, страница 89 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

5. Чему равна ширина всего спектра первого порядка, полученного при помощи дифракционной решетки с периодом $d = 0,01 \text{ мм}$? Длины волн заключены в пределах от $0,38 \text{ мкм}$ до $0,76 \text{ мкм}$. Расстояние от дифракционной решетки до экрана $L = 0,5 \text{ м}$.

Дано:

Период дифракционной решетки $d = 0,01 \text{ мм} = 0,01 \cdot 10^{-3} \text{ м} = 10^{-5} \text{ м}$

Минимальная длина волны $\lambda_{min} = 0,38 \text{ мкм} = 0,38 \cdot 10^{-6} \text{ м}$

Максимальная длина волны $\lambda_{max} = 0,76 \text{ мкм} = 0,76 \cdot 10^{-6} \text{ м}$

Расстояние от решетки до экрана $L = 0,5 \text{ м}$

Порядок спектра $k = 1$

Найти:

Ширину спектра первого порядка $\Delta x$.

Решение:

Условие для наблюдения дифракционного максимума на решетке определяется формулой:

$d \sin\varphi = k\lambda$

где $\text{d}$ — период решетки, $\varphi$ — угол, под которым наблюдается максимум, $\text{k}$ — порядок максимума (целое число), $\lambda$ — длина волны света.

Спектр первого порядка ($k=1$) представляет собой полосу на экране, границы которой соответствуют максимальному и минимальному отклонению лучей света с разными длинами волн (в данном случае, от фиолетового до красного).

Расстояние $\text{x}$ от центрального максимума до максимума $\text{k}$-го порядка на экране связано с углом $\varphi$ и расстоянием до экрана $\text{L}$ соотношением:

$\tan\varphi = \frac{x}{L}$

Для малых углов дифракции можно принять, что $\sin\varphi \approx \tan\varphi$. Проверим, малы ли углы в нашем случае:

$\sin\varphi_{max} = \frac{k\lambda_{max}}{d} = \frac{1 \cdot 0,76 \cdot 10^{-6} \text{ м}}{10^{-5} \text{ м}} = 0,076$

Так как $0,076 \ll 1$, приближение малых углов является допустимым.

Тогда, приравнивая выражения для синуса и тангенса угла, получаем:

$\frac{k\lambda}{d} \approx \frac{x}{L}$

Отсюда можем выразить координату $\text{x}$ максимума на экране:

$x \approx \frac{kL\lambda}{d}$

Ширина спектра $\Delta x$ равна разности координат крайних лучей спектра (с максимальной и минимальной длинами волн):

$\Delta x = x_{max} - x_{min}$

где $x_{max}$ — координата максимума для $\lambda_{max}$, а $x_{min}$ — координата максимума для $\lambda_{min}$.

$\Delta x = \frac{kL\lambda_{max}}{d} - \frac{kL\lambda_{min}}{d} = \frac{kL}{d}(\lambda_{max} - \lambda_{min})$

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$\Delta x = \frac{1 \cdot 0,5 \text{ м}}{10^{-5} \text{ м}} (0,76 \cdot 10^{-6} \text{ м} - 0,38 \cdot 10^{-6} \text{ м})$

$\Delta x = \frac{0,5}{10^{-5}} \cdot (0,38 \cdot 10^{-6}) \text{ м} = 5 \cdot 10^4 \cdot 0,38 \cdot 10^{-6} \text{ м}$

$\Delta x = 1,9 \cdot 10^{-2} \text{ м} = 0,019 \text{ м}$

Можно также выразить результат в сантиметрах или миллиметрах: $0,019 \text{ м} = 1,9 \text{ см} = 19 \text{ мм}$.

Ответ: ширина спектра первого порядка равна $0,019$ м (или $\text{19}$ мм).