Номер 14, страница 111 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

14. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения правильной шестиугольной призмы $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все ребра которой равны 1 см, вокруг прямой $c$, проходящей через середины ребер $BC$ и $B_1 C_1$.

Объем

Для нахождения объема тела вращения воспользуемся второй теоремой Паппа-Гюльдена: объем тела вращения равен произведению объема исходной фигуры на длину окружности, которую описывает ее центр масс при вращении. Формула имеет вид: $V_{вращ} = 2\pi \cdot d_c \cdot V_{призмы}$, где $V_{призмы}$ — объем исходной призмы, а $d_c$ — расстояние от центра масс призмы до оси вращения.

1. Найдем объем правильной шестиугольной призмы.

По условию, все ребра призмы равны 1 см. Это значит, что сторона основания $a=1$ см и высота призмы $h=1$ см.

Площадь правильного шестиугольника (основания призмы) вычисляется по формуле: $S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2$.

Подставляя $a=1$ см, получаем: $S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 1^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2}$ см$^2$.

Объем призмы: $V_{призмы} = S_{осн} \cdot h = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 1 = \frac{3\sqrt{3}}{2}$ см$^3$.

2. Найдем расстояние от центра масс призмы до оси вращения.

Ось вращения $c$ проходит через середины ребер $BC$ и $B_1C_1$. Центр масс правильной призмы находится в ее геометрическом центре, то есть в середине отрезка, соединяющего центры оснований.

Расстояние от центра правильного шестиугольника до середины любой его стороны равно апофеме, которая вычисляется по формуле $r = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

В нашем случае, $a=1$ см, поэтому расстояние от центра основания до середины ребра $BC$ равно $d_c = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см. Так как ось вращения параллельна высоте призмы и проходит через середины ребер $BC$ и $B_1C_1$, это расстояние и есть расстояние от центра масс призмы до оси вращения.

3. Вычислим объем тела вращения.

$V_{вращ} = 2\pi \cdot d_c \cdot V_{призмы} = 2\pi \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3\sqrt{3}}{2} = \pi \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{3\sqrt{3}}{2} = \frac{9\pi}{2}$ см$^3$.

Ответ: Объем тела вращения равен $\frac{9\pi}{2}$ см$^3$.

Площадь поверхности

Для нахождения площади поверхности тела вращения воспользуемся первой теоремой Паппа-Гюльдена. Площадь поверхности, образованной вращением всех ребер призмы, равна сумме площадей, образованных вращением каждого ребра. Площадь, образованная вращением отрезка (ребра), равна $S_i = 2\pi \cdot d_i \cdot L_i$, где $L_i$ — длина ребра, а $d_i$ — расстояние от середины ребра до оси вращения. Так как все ребра призмы равны $L_i=1$ см, итоговая площадь равна $S = \sum_{i=1}^{18} 2\pi d_i = 2\pi \sum_{i=1}^{18} d_i$.

Для вычисления расстояний введем систему координат. Пусть центр нижнего основания $ABCDEF$ находится в начале координат $O(0,0,0)$, а высота призмы направлена вдоль оси $Oz$. Ось вращения $c$ параллельна оси $Oz$. Разместим основание так, чтобы ось вращения $c$ имела координаты $x = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $y=0$. Ось $c$ является прямой, проходящей через точки $M(\frac{\sqrt{3}}{2}, 0, 0)$ и $M_1(\frac{\sqrt{3}}{2}, 0, 1)$. Расстояние от точки с координатами $(x_p, y_p, z_p)$ до оси $c$ равно $d = \sqrt{(x_p - \frac{\sqrt{3}}{2})^2 + y_p^2}$.

Координаты вершин нижнего основания ($a=1$):
$A(0, -1, 0)$, $B(\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2}, 0)$, $C(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}, 0)$, $D(0, 1, 0)$, $E(-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}, 0)$, $F(-\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2}, 0)$.
Координаты вершин верхнего основания имеют те же $x, y$, но $z=1$.

1. Найдем расстояния от середин ребер оснований до оси вращения.

Ребра нижнего и верхнего оснований симметричны, поэтому расстояния для их середин будут одинаковы. Посчитаем для нижнего основания:

• Середина $BC$: $M(\frac{\sqrt{3}}{2}, 0, 0)$. Расстояние $d_{BC} = 0$.
• Середина $AB$: $(\frac{\sqrt{3}}{4}, -\frac{3}{4}, 0)$. Расстояние $d_{AB} = \sqrt{(\frac{\sqrt{3}}{4}-\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (-\frac{3}{4})^2} = \sqrt{(-\frac{\sqrt{3}}{4})^2 + \frac{9}{16}} = \sqrt{\frac{3}{16} + \frac{9}{16}} = \sqrt{\frac{12}{16}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
• Середина $CD$: $(\frac{\sqrt{3}}{4}, \frac{3}{4}, 0)$. Расстояние $d_{CD} = \sqrt{(\frac{\sqrt{3}}{4}-\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{3}{4})^2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
• Середина $DE$: $(-\frac{\sqrt{3}}{4}, \frac{3}{4}, 0)$. Расстояние $d_{DE} = \sqrt{(-\frac{\sqrt{3}}{4}-\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{3}{4})^2} = \sqrt{(-\frac{3\sqrt{3}}{4})^2 + \frac{9}{16}} = \sqrt{\frac{27}{16} + \frac{9}{16}} = \sqrt{\frac{36}{16}} = \frac{3}{2}$.
• Середина $FA$: $(-\frac{\sqrt{3}}{4}, -\frac{3}{4}, 0)$. Расстояние $d_{FA} = \sqrt{(-\frac{\sqrt{3}}{4}-\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (-\frac{3}{4})^2} = \frac{3}{2}$.
• Середина $EF$: $(-\frac{\sqrt{3}}{2}, 0, 0)$. Расстояние $d_{EF} = \sqrt{(-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + 0^2} = \sqrt{(-\sqrt{3})^2} = \sqrt{3}$.

Сумма расстояний для ребер одного основания: $0 + 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 2 \cdot \frac{3}{2} + \sqrt{3} = \sqrt{3} + 3 + \sqrt{3} = 3 + 2\sqrt{3}$.
Сумма для двух оснований: $2 \cdot (3 + 2\sqrt{3}) = 6 + 4\sqrt{3}$.

2. Найдем расстояния от середин боковых ребер до оси вращения.

Середины боковых ребер имеют координату $z=\frac{1}{2}$.

• Середина $AA_1$: $(0, -1, \frac{1}{2})$. Расстояние $d_{AA_1} = \sqrt{(0-\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (-1)^2} = \sqrt{\frac{3}{4} + 1} = \sqrt{\frac{7}{4}} = \frac{\sqrt{7}}{2}$.
• Середина $DD_1$: $(0, 1, \frac{1}{2})$. Расстояние $d_{DD_1} = \sqrt{(0-\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + 1^2} = \frac{\sqrt{7}}{2}$.
• Середина $BB_1$: $(\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$. Расстояние $d_{BB_1} = \sqrt{(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (-\frac{1}{2})^2} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.
• Середина $CC_1$: $(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$. Расстояние $d_{CC_1} = \sqrt{(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2} = \frac{1}{2}$.
• Середина $EE_1$: $(-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$. Расстояние $d_{EE_1} = \sqrt{(-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2} = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + \frac{1}{4}} = \sqrt{3+\frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{13}{4}} = \frac{\sqrt{13}}{2}$.
• Середина $FF_1$: $(-\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$. Расстояние $d_{FF_1} = \sqrt{(-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (-\frac{1}{2})^2} = \frac{\sqrt{13}}{2}$.

Сумма расстояний для боковых ребер: $2 \cdot \frac{\sqrt{7}}{2} + 2 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{\sqrt{13}}{2} = \sqrt{7} + 1 + \sqrt{13}$.

3. Вычислим полную площадь поверхности вращения.

Сумма всех расстояний: $\sum d_i = (6 + 4\sqrt{3}) + (1 + \sqrt{7} + \sqrt{13}) = 7 + 4\sqrt{3} + \sqrt{7} + \sqrt{13}$.

Площадь поверхности: $S = 2\pi \sum d_i = 2\pi (7 + 4\sqrt{3} + \sqrt{7} + \sqrt{13})$ см$^2$.

Ответ: Площадь поверхности тела вращения равна $2\pi (7 + 4\sqrt{3} + \sqrt{7} + \sqrt{13})$ см$^2$.