Номер 7, страница 111 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

7. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения единичного тетраэдра $ABCD$ вокруг прямой, содержащей высоту $DH$ этого тетраэдра.

Пусть дан единичный правильный тетраэдр $ABCD$, ребро которого равно $a=1$. Высота тетраэдра $DH$ опущена из вершины $D$ на основание $ABC$. В правильном тетраэдре основанием высоты является центр описанной (и вписанной) окружности основания, то есть точка $H$ — центр равностороннего треугольника $ABC$.

Тело вращения, полученное при вращении тетраэдра $ABCD$ вокруг прямой, содержащей его высоту $DH$, представляет собой конус. Вершина конуса совпадает с вершиной $D$ тетраэдра. Основанием конуса является круг, который описывают вершины $A$, $B$ и $C$ при вращении вокруг точки $H$. Образующей конуса является любое из боковых ребер тетраэдра, например, $DA$.

Для нахождения объема и площади поверхности этого конуса необходимо определить его основные параметры: радиус основания $r$, высоту $h$ и длину образующей $l$.

1. Длина образующей $l$. Образующая конуса равна длине ребра тетраэдра, то есть $l = DA = a = 1$.

2. Радиус основания $r$. Радиус основания конуса равен расстоянию от центра $H$ равностороннего треугольника $ABC$ до его вершин, например, $r = AH$. Это радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$. Для равностороннего треугольника со стороной $a$ радиус описанной окружности вычисляется по формуле $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$.
Поскольку $a=1$, получаем: $r = AH = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

3. Высота конуса $h$. Высота конуса совпадает с высотой тетраэдра $DH$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $AHD$ (с прямым углом $H$). По теореме Пифагора: $DA^2 = AH^2 + DH^2$ $l^2 = r^2 + h^2$ $1^2 = \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2 + h^2$ $1 = \frac{3}{9} + h^2$ $1 = \frac{1}{3} + h^2$ $h^2 = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ $h = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$.

Теперь мы можем вычислить объем и площадь поверхности полученного конуса.

Объем

Объем конуса вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$. Подставим найденные значения $r$ и $h$: $V = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2 \left(\frac{\sqrt{6}}{3}\right) = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{3}{9}\right) \left(\frac{\sqrt{6}}{3}\right) = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{1}{3}\right) \left(\frac{\sqrt{6}}{3}\right) = \frac{\pi\sqrt{6}}{27}$.

Ответ: $V = \frac{\pi\sqrt{6}}{27}$.

Площадь поверхности

Площадь полной поверхности конуса равна сумме площади основания $S_{осн}$ и площади боковой поверхности $S_{бок}$. $S = S_{осн} + S_{бок} = \pi r^2 + \pi r l$.

Вычислим площадь основания: $S_{осн} = \pi r^2 = \pi \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2 = \pi \left(\frac{3}{9}\right) = \frac{\pi}{3}$.

Вычислим площадь боковой поверхности: $S_{бок} = \pi r l = \pi \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) \cdot 1 = \frac{\pi\sqrt{3}}{3}$.

Сложим обе площади, чтобы найти полную площадь поверхности: $S = S_{осн} + S_{бок} = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi\sqrt{3}}{3} = \frac{\pi(1+\sqrt{3})}{3}$.

Ответ: $S = \frac{\pi(1+\sqrt{3})}{3}$.