Номер 4, страница 110 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

4.

Дана правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$, у которой все ребра равны 1 см. Это означает, что в основании лежит равносторонний треугольник $ABC$ со стороной $a=1$ см, а высота призмы (длина бокового ребра) также равна $h=1$ см.

Ось вращения $c$ проходит через центры оснований $O$ и $O_1$. В правильной треугольной призме эта ось параллельна боковым ребрам ($AA_1$, $BB_1$, $CC_1$) и перпендикулярна основаниям.

При вращении призмы вокруг этой оси образуется тело вращения. Поскольку боковые ребра призмы параллельны оси вращения, тело вращения будет представлять собой прямой круговой цилиндр.

Высота этого цилиндра будет равна высоте призмы, то есть $H_{цил} = h = 1$ см.

Радиус этого цилиндра $R_{цил}$ будет равен расстоянию от оси вращения до любого из боковых ребер. Это расстояние равно радиусу окружности, описанной около треугольника основания $ABC$.

Найдем радиус $R$ описанной окружности для равностороннего треугольника со стороной $a=1$ см. Формула для радиуса описанной окружности равностороннего треугольника: $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$.

Подставляя $a=1$ см, получаем:$R_{цил} = R = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ см.

Теперь мы имеем все параметры для нахождения объема и площади поверхности полученного цилиндра.

Объем

Объем тела вращения (цилиндра) вычисляется по формуле:$V = \pi R^2 H$

Подставим наши значения $R = \frac{\sqrt{3}}{3}$ см и $H = 1$ см:$V = \pi \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2 \cdot 1 = \pi \cdot \frac{3}{9} \cdot 1 = \frac{3\pi}{9} = \frac{\pi}{3}$ см$^3$.

Ответ: $V = \frac{\pi}{3}$ см$^3$.

Площадь поверхности

Площадь полной поверхности тела вращения (цилиндра) складывается из площади боковой поверхности и площадей двух оснований:$S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн}$

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле:$S_{бок} = 2\pi R H$$S_{бок} = 2\pi \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1 = \frac{2\pi\sqrt{3}}{3}$ см$^2$.

Площадь одного основания (круга) вычисляется по формуле:$S_{осн} = \pi R^2$$S_{осн} = \pi \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2 = \pi \cdot \frac{3}{9} = \frac{\pi}{3}$ см$^2$.

Теперь найдем площадь полной поверхности:$S_{полн} = \frac{2\pi\sqrt{3}}{3} + 2 \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi\sqrt{3} + 2\pi}{3} = \frac{2\pi(\sqrt{3}+1)}{3}$ см$^2$.

Ответ: $S = \frac{2\pi(\sqrt{3}+1)}{3}$ см$^2$.