Номер 21, страница 110 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

21. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения правильного шестиугольника ABCDEF со стороной 1 см вокруг прямой AB.

Для решения задачи представим тело вращения и используем геометрические формулы и теоремы Паппа-Гульдина.

Правильный шестиугольник ABCDEF со стороной $a=1$ см вращается вокруг прямой, содержащей сторону AB.

Объем тела вращения

Объем тела вращения можно найти с помощью первой теоремы Паппа-Гульдина, которая гласит, что объем тела, образованного вращением плоской фигуры вокруг внешней оси, равен произведению площади этой фигуры $S$ на длину окружности $2 \pi R$, описываемой центром масс (центроидом) фигуры.

Формула объема: $V = 2 \pi R S$.

1. Найдем площадь шестиугольника (S). Правильный шестиугольник состоит из шести равносторонних треугольников со стороной $a$. Площадь одного такого треугольника равна $\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

$S = 6 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2$.

Поскольку $a=1$ см, площадь шестиугольника: $S = \frac{3\sqrt{3}}{2} \text{ см}^2$.

2. Найдем расстояние от центроида шестиугольника до оси вращения (R). Центроид правильного шестиугольника находится в его геометрическом центре. Ось вращения проходит через сторону AB. Расстояние от центра шестиугольника до его стороны равно апофеме, которая является высотой одного из равносторонних треугольников.

$R = h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

При $a=1$ см, расстояние $R = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

3. Вычислим объем (V).

$V = 2 \pi R S = 2 \pi \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3\sqrt{3}}{2} = \pi\sqrt{3} \cdot \frac{3\sqrt{3}}{2} = \frac{3\pi(\sqrt{3})^2}{2} = \frac{3\pi \cdot 3}{2} = \frac{9\pi}{2}$.

Ответ: Объем тела вращения равен $\frac{9\pi}{2}$ см$^3$.

Площадь поверхности тела вращения

Площадь поверхности тела вращения складывается из площадей поверхностей, образованных вращением сторон BC, CD, DE, EF и FA. Сторона AB лежит на оси вращения и вклада в площадь не дает.

Поверхность, образуемая вращением отрезка прямой, является боковой поверхностью усеченного конуса (или конуса, или цилиндра). Ее площадь вычисляется по формуле $A = \pi(r_1 + r_2)l$, где $r_1$ и $r_2$ — расстояния концов отрезка до оси вращения, а $l$ — длина отрезка.

Для определения радиусов $r$ введем систему координат. Пусть ось вращения AB совпадает с осью Ox, а середина отрезка AB — с началом координат. Тогда при $a=1$ см вершины будут иметь следующие координаты:

$A = (-1/2, 0)$, $B = (1/2, 0)$

$C = (1, \sqrt{3}/2)$

$D = (1/2, \sqrt{3})$

$E = (-1/2, \sqrt{3})$

$F = (-1, \sqrt{3}/2)$

Длина каждого вращаемого отрезка $l=a=1$ см.

1. Вращение отрезка BC. Концы отрезка находятся на расстояниях $r_B = 0$ и $r_C = \frac{\sqrt{3}}{2}$ от оси Ox. Площадь полученной поверхности (боковая поверхность конуса):

$A_{BC} = \pi(0 + \frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot 1 = \frac{\pi\sqrt{3}}{2}$.

2. Вращение отрезка FA. По симметрии, $A_{FA} = A_{BC} = \frac{\pi\sqrt{3}}{2}$.

3. Вращение отрезка CD. Концы отрезка находятся на расстояниях $r_C = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $r_D = \sqrt{3}$ от оси Ox. Площадь полученной поверхности (боковая поверхность усеченного конуса):

$A_{CD} = \pi(\frac{\sqrt{3}}{2} + \sqrt{3}) \cdot 1 = \pi(\frac{3\sqrt{3}}{2}) = \frac{3\pi\sqrt{3}}{2}$.

4. Вращение отрезка EF. По симметрии, $A_{EF} = A_{CD} = \frac{3\pi\sqrt{3}}{2}$.

5. Вращение отрезка DE. Отрезок DE параллелен оси вращения Ox и находится на расстоянии $r = \sqrt{3}$ от нее. При вращении он образует боковую поверхность цилиндра с радиусом $r = \sqrt{3}$ и высотой, равной длине отрезка DE, то есть $1$.

$A_{DE} = 2\pi r l = 2\pi \sqrt{3} \cdot 1 = 2\pi\sqrt{3}$.

6. Суммарная площадь поверхности.

$A_{общ} = A_{BC} + A_{FA} + A_{CD} + A_{EF} + A_{DE}$

$A_{общ} = \frac{\pi\sqrt{3}}{2} + \frac{\pi\sqrt{3}}{2} + \frac{3\pi\sqrt{3}}{2} + \frac{3\pi\sqrt{3}}{2} + 2\pi\sqrt{3}$

$A_{общ} = \pi\sqrt{3} + 3\pi\sqrt{3} + 2\pi\sqrt{3} = (1+3+2)\pi\sqrt{3} = 6\pi\sqrt{3}$.

Ответ: Площадь поверхности тела вращения равна $6\pi\sqrt{3}$ см$^2$.