Номер 18, страница 110 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

18. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения равнобедренной трапеции $ABCD$ с боковыми сторонами $AD$ и $BC$, равными 1 см, и основаниями $AB$ и $CD$, равными соответственно 2 см и 1 см, вокруг прямой $CD$.

Для решения задачи сначала найдем высоту равнобедренной трапеции. Пусть $h$ — высота трапеции. Проведем высоты из вершин $D$ и $C$ к основанию $AB$. Пусть их основаниями будут точки $H$ и $K$ соответственно. Так как трапеция равнобедренная, отрезки $AH$ и $KB$ равны.

Длина отрезка $HK$ равна длине меньшего основания $CD$, то есть $HK=1$ см. Тогда длину отрезка $AH$ можно найти как:$AH = \frac{AB - HK}{2} = \frac{2 - 1}{2} = 0.5$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $AHD$. По теореме Пифагора найдем высоту трапеции $h = DH$:$h^2 = AD^2 - AH^2 = 1^2 - (0.5)^2 = 1 - 0.25 = 0.75$$h = \sqrt{0.75} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

Объем тела вращения

Тело, полученное при вращении трапеции $ABCD$ вокруг прямой $CD$, можно представить как цилиндр, из которого с двух торцов удалены конусы. Чтобы это увидеть, мы можем мысленно достроить трапецию до прямоугольника, проведя через вершины $A$ и $B$ прямые, перпендикулярные оси вращения $CD$.

Объем тела вращения будет равен объему цилиндра, образованного вращением этого прямоугольника, за вычетом объемов двух конусов, образованных вращением треугольных частей.

1. Объем цилиндра. Радиус цилиндра $r$ равен высоте трапеции $h = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см. Высота цилиндра $H$ равна длине большего основания трапеции $AB = 2$ см.$V_{цил} = \pi r^2 H = \pi \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 \cdot 2 = \pi \cdot \frac{3}{4} \cdot 2 = \frac{3\pi}{2}$ см³.

2. Объемы конусов. Два удаляемых конуса одинаковы. Вершины этих конусов лежат на оси вращения. Высота каждого конуса равна $H_к = AH = 0.5$ см. Радиус основания каждого конуса равен высоте трапеции $r_к = h = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.Объем одного конуса:$V_{конус} = \frac{1}{3}\pi r_к^2 H_к = \frac{1}{3}\pi \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 \cdot 0.5 = \frac{1}{3}\pi \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\pi}{8}$ см³.

3. Объем тела вращения. Искомый объем равен разности объема цилиндра и объемов двух конусов:$V = V_{цил} - 2 \cdot V_{конус} = \frac{3\pi}{2} - 2 \cdot \frac{\pi}{8} = \frac{3\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{6\pi}{4} - \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}$ см³.

Ответ: $V = \frac{5\pi}{4}$ см³.

Площадь поверхности тела вращения

Поверхность тела вращения состоит из трех частей: площади боковой поверхности цилиндра (от вращения основания $AB$) и площадей боковых поверхностей двух конусов (от вращения боковых сторон $AD$ и $BC$).

1. Площадь цилиндрической поверхности. Образуется вращением отрезка $AB$ вокруг прямой $CD$. Радиус вращения равен высоте трапеции $r = h = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см. Длина образующей равна длине отрезка $AB=2$ см.$S_{цил} = 2\pi r \cdot L_{AB} = 2\pi \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 2 = 2\pi\sqrt{3}$ см².

2. Площадь конической поверхности от вращения $AD$. Боковая сторона $AD$ является образующей конуса, ее длина $l=1$ см. Вершина конуса лежит на оси вращения. Радиус основания конуса равен высоте трапеции $r = h = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.$S_{конус1} = \pi r l = \pi \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 = \frac{\pi\sqrt{3}}{2}$ см².

3. Площадь конической поверхности от вращения $BC$. Эта поверхность идентична предыдущей, так как $BC=AD=1$ см.$S_{конус2} = \frac{\pi\sqrt{3}}{2}$ см².

4. Полная площадь поверхности. Суммируем площади всех частей:$S_{полн} = S_{цил} + S_{конус1} + S_{конус2} = 2\pi\sqrt{3} + \frac{\pi\sqrt{3}}{2} + \frac{\pi\sqrt{3}}{2} = 2\pi\sqrt{3} + \pi\sqrt{3} = 3\pi\sqrt{3}$ см².

Ответ: $S = 3\pi\sqrt{3}$ см².