Номер 11, страница 109 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

11. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения ромба ABCD со сторонами, равными 1 см, и острым углом $60^\circ$, вокруг прямой AC.

Тело вращения, которое образуется при вращении ромба ABCD вокруг его большой диагонали AC, состоит из двух одинаковых конусов, соединенных своими основаниями.

Для решения задачи найдем параметры этих конусов.

1. Сторона ромба дана и равна $a = 1$ см. При вращении сторона ромба становится образующей $l$ конуса. Таким образом, $l = 1$ см.

2. Острый угол ромба равен $60^{\circ}$. Пусть $\angle BAD = 60^{\circ}$. Рассмотрим треугольник ABD. Он является равнобедренным, так как $AB = AD = 1$ см (стороны ромба). Угол между этими сторонами равен $60^{\circ}$, следовательно, треугольник ABD является равносторонним. Это означает, что меньшая диагональ ромба $BD$ также равна 1 см.

3. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся точкой пересечения (назовем ее O) пополам. Радиус $R$ общего основания двух конусов равен половине меньшей диагонали $BD$.

$R = BO = \frac{1}{2}BD = \frac{1}{2} \cdot 1 = 0.5$ см.

4. Высота $h$ каждого из конусов равна половине большей диагонали $AC$. Найдем длину $AO$ из прямоугольного треугольника $AOB$, используя теорему Пифагора ($AB$ - гипотенуза, $AO$ и $BO$ - катеты):

$h = AO = \sqrt{AB^2 - BO^2} = \sqrt{1^2 - (0.5)^2} = \sqrt{1 - 0.25} = \sqrt{0.75} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

Теперь у нас есть все необходимые данные для вычисления объема и площади поверхности тела вращения.

Объем

Объем тела вращения $V$ равен сумме объемов двух одинаковых конусов. Формула для объема одного конуса: $V_{конуса} = \frac{1}{3}\pi R^2 h$.

Общий объем $V$ будет:

$V = 2 \cdot V_{конуса} = 2 \cdot \left(\frac{1}{3}\pi R^2 h\right) = 2 \cdot \frac{1}{3}\pi \left(\frac{1}{2}\right)^2 \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{2}{3}\pi \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2\pi\sqrt{3}}{24} = \frac{\pi\sqrt{3}}{12}$ см$^3$.

Ответ: Объем тела вращения равен $\frac{\pi\sqrt{3}}{12}$ см$^3$.

Площадь поверхности

Площадь поверхности тела вращения $S$ равна сумме площадей боковых поверхностей двух конусов. Основания конусов находятся внутри тела и не являются частью его внешней поверхности.

Формула площади боковой поверхности конуса: $S_{бок} = \pi R l$.

Общая площадь поверхности $S$ будет:

$S = 2 \cdot S_{бок} = 2 \cdot (\pi R l) = 2 \cdot \pi \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 = \pi$ см$^2$.

Ответ: Площадь поверхности тела вращения равна $\pi$ см$^2$.