Страница 109 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

4. В равнобедренном треугольнике ABC $AC = BC = 1$, $\angle C = 120^\circ$, $CH$ - высота. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения этого треугольника вокруг прямой $CH$.

При вращении равнобедренного треугольника $ABC$ вокруг своей высоты $CH$, проведенной из вершины $C$ к основанию $AB$, образуется тело вращения, представляющее собой конус. Вершина этого конуса будет в точке $C$, высота конуса $h$ будет равна длине высоты $CH$, радиус основания конуса $r$ будет равен половине длины основания треугольника (т.е. $AH$), а образующая конуса $l$ будет равна боковой стороне треугольника ($AC$ или $BC$).

Из условия задачи нам даны:

Длина боковых сторон, которая является образующей конуса: $l = AC = BC = 1$.

Угол при вершине: $\angle C = 120^{\circ}$.

В равнобедренном треугольнике высота $CH$ является также биссектрисой и медианой. Следовательно, она делит угол $\angle C$ пополам. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACH$ (где $\angle AHC = 90^{\circ}$).

Угол $\angle ACH = \frac{1}{2} \angle C = \frac{120^{\circ}}{2} = 60^{\circ}$.

Теперь мы можем найти высоту конуса $h$ и радиус его основания $r$, используя тригонометрические функции в треугольнике $ACH$:

Высота конуса: $h = CH = AC \cdot \cos(\angle ACH) = 1 \cdot \cos(60^{\circ}) = 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

Радиус основания конуса: $r = AH = AC \cdot \sin(\angle ACH) = 1 \cdot \sin(60^{\circ}) = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Теперь у нас есть все необходимые параметры конуса для вычислений: $h = 1/2$, $r = \sqrt{3}/2$, $l=1$.

Объем тела вращения

Объем конуса вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$. Подставим найденные значения $r$ и $h$:

$V = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{3} \pi \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3\pi}{24} = \frac{\pi}{8}$.

Ответ: $V = \frac{\pi}{8}$.

Площадь поверхности тела вращения

Площадь полной поверхности конуса ($S$) складывается из площади основания ($S_{осн}$) и площади боковой поверхности ($S_{бок}$). Формула для полной площади поверхности: $S = S_{осн} + S_{бок} = \pi r^2 + \pi r l$.

Подставим известные значения $r$ и $l$:

$S = \pi \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \pi \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 = \pi \cdot \frac{3}{4} + \frac{\pi\sqrt{3}}{2}$.

Приведем дроби к общему знаменателю:

$S = \frac{3\pi}{4} + \frac{2\pi\sqrt{3}}{4} = \frac{3\pi + 2\pi\sqrt{3}}{4} = \frac{\pi(3 + 2\sqrt{3})}{4}$.

Ответ: $S = \frac{\pi(3 + 2\sqrt{3})}{4}$.

5. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения равнобедренной трапеции $ABCD$ с боковыми сторонами $AD$ и $BC$, равными 1 см, и основаниями $AB$ и $CD$, равными соответственно 2 см и 1 см, вокруг прямой $c$, проходящей через середины оснований $AB$ и $CD$.

Объем тела вращения

Тело, образованное вращением равнобедренной трапеции $ABCD$ вокруг прямой $c$, проходящей через середины ее оснований, является усеченным конусом. Найдем его параметры на основе данных задачи.
Радиус большего основания $R$ равен половине длины основания $AB$: $R = \frac{AB}{2} = \frac{2}{2} = 1$ см.
Радиус меньшего основания $r$ равен половине длины основания $CD$: $r = \frac{CD}{2} = \frac{1}{2} = 0.5$ см.
Образующая $l$ усеченного конуса равна длине боковой стороны трапеции: $l = AD = BC = 1$ см.
Высоту $h$ усеченного конуса (она же высота трапеции) найдем по теореме Пифагора. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой $h$, боковой стороной $l$ и отрезком, равным полуразности оснований $\frac{AB - CD}{2}$:
$h^2 = l^2 - \left(\frac{AB - CD}{2}\right)^2 = 1^2 - \left(\frac{2-1}{2}\right)^2 = 1 - (0.5)^2 = 1 - 0.25 = 0.75$
$h = \sqrt{0.75} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.
Объем усеченного конуса вычисляется по формуле:
$V = \frac{1}{3} \pi h (R^2 + Rr + r^2)$
Подставляя наши значения, получаем:
$V = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) (1^2 + 1 \cdot 0.5 + 0.5^2) = \frac{\pi\sqrt{3}}{6} (1 + 0.5 + 0.25) = \frac{\pi\sqrt{3}}{6} (1.75)$
Переведем $1.75$ в обыкновенную дробь: $1.75 = \frac{7}{4}$.
$V = \frac{\pi\sqrt{3}}{6} \cdot \frac{7}{4} = \frac{7\pi\sqrt{3}}{24}$ см³.

Ответ: $V = \frac{7\pi\sqrt{3}}{24}$ см³.

Площадь поверхности тела вращения

Площадь полной поверхности усеченного конуса складывается из площади боковой поверхности и площадей двух оснований (верхнего и нижнего).
$S_{полн} = S_{бок} + S_{нижн} + S_{верхн}$
Площадь боковой поверхности: $S_{бок} = \pi l (R + r) = \pi \cdot 1 (1 + 0.5) = 1.5\pi = \frac{3\pi}{2}$ см².
Площадь нижнего (большего) основания: $S_{нижн} = \pi R^2 = \pi \cdot 1^2 = \pi$ см².
Площадь верхнего (меньшего) основания: $S_{верхн} = \pi r^2 = \pi \cdot (0.5)^2 = 0.25\pi = \frac{\pi}{4}$ см².
Суммируем все площади:
$S_{полн} = \frac{3\pi}{2} + \pi + \frac{\pi}{4} = \frac{6\pi}{4} + \frac{4\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = \frac{11\pi}{4}$ см².

Ответ: $S_{полн} = \frac{11\pi}{4}$ см².

6. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения прямоугольной трапеции $ABCD$ с основаниями $AB$ и $CD$, равными соответственно 2 см и 1 см, меньшей боковой стороной, равной 1 см, вокруг прямой $AD$.

Тело, полученное в результате вращения прямоугольной трапеции ABCD вокруг ее меньшей боковой стороны AD (которая перпендикулярна основаниям), является усеченным конусом.

Параметры этого тела вращения определяются из условий задачи:

Радиус большего основания $R$ равен длине основания AB: $R = 2$ см.

Радиус меньшего основания $r$ равен длине основания CD: $r = 1$ см.

Высота усеченного конуса $h$ равна длине стороны вращения AD: $h = 1$ см.

Объем тела вращения

Объем усеченного конуса вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3} \pi h (R^2 + Rr + r^2)$

Подставляем известные значения:

$V = \frac{1}{3} \pi \cdot 1 \cdot (2^2 + 2 \cdot 1 + 1^2) = \frac{1}{3} \pi (4 + 2 + 1) = \frac{7\pi}{3}$ см³.

Ответ: Объем тела вращения равен $\frac{7\pi}{3}$ см³.

Площадь поверхности тела вращения

Площадь полной поверхности усеченного конуса состоит из суммы площадей двух его оснований и площади боковой поверхности.

$S_{полная} = S_{нижн.основания} + S_{верхн.основания} + S_{боковая}$

1. Найдем площадь нижнего основания (круга с радиусом $R=2$ см):

$S_{нижн.основания} = \pi R^2 = \pi \cdot 2^2 = 4\pi$ см².

2. Найдем площадь верхнего основания (круга с радиусом $r=1$ см):

$S_{верхн.основания} = \pi r^2 = \pi \cdot 1^2 = \pi$ см².

3. Для нахождения площади боковой поверхности нужна образующая $l$. Образующая равна длине большей боковой стороны трапеции BC. Чтобы найти ее, проведем высоту из вершины C на основание AB (обозначим точку пересечения H). Получим прямоугольный треугольник CHB, где катет CH равен высоте трапеции $h=1$ см, а катет HB равен разности оснований $R-r = 2 - 1 = 1$ см.

По теореме Пифагора находим образующую $l$:

$l = \sqrt{CH^2 + HB^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ см.

Площадь боковой поверхности вычисляется по формуле:

$S_{боковая} = \pi (R + r) l$

$S_{боковая} = \pi (2 + 1) \sqrt{2} = 3\pi\sqrt{2}$ см².

4. Складываем все площади для нахождения полной площади поверхности:

$S_{полная} = 4\pi + \pi + 3\pi\sqrt{2} = 5\pi + 3\pi\sqrt{2} = \pi(5 + 3\sqrt{2})$ см².

Ответ: Площадь поверхности тела вращения равна $\pi(5 + 3\sqrt{2})$ см².

7. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения прямоугольного треугольника $ABC$ с катетами $AC = BC = 1 \text{ см}$ вокруг прямой $AB$.

Тело, полученное вращением прямоугольного треугольника $ABC$ вокруг его гипотенузы $AB$, представляет собой два конуса с общим основанием. Вершина $C$ треугольника при вращении образует окружность, которая является общим основанием этих двух конусов.

Для решения задачи найдем основные параметры этого тела вращения:

1. Гипотенуза $AB$. Треугольник $ABC$ — прямоугольный с катетами $AC = 1$ см и $BC = 1$ см. По теореме Пифагора: $AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ см. Гипотенуза $AB$ является осью вращения и суммой высот двух конусов.

2. Радиус общего основания конусов. Радиус $r$ основания конусов равен высоте $CH$, проведенной из вершины прямого угла $C$ к гипотенузе $AB$. Площадь треугольника $ABC$ можно выразить двумя способами: $S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = \frac{1}{2}$ см$^2$. $S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot r$. Приравнивая оба выражения для площади, получаем: $\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot r = \frac{1}{2}$, откуда $r = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ см.

3. Высоты и образующие конусов. Тело состоит из двух конусов. - Первый конус имеет высоту $h_1 = AH$ и образующую $l_1 = AC = 1$ см. - Второй конус имеет высоту $h_2 = BH$ и образующую $l_2 = BC = 1$ см. Поскольку треугольник $ABC$ равнобедренный, высота $CH$ является и медианой, поэтому $H$ — середина $AB$. Следовательно, высоты конусов равны: $h_1 = h_2 = \frac{AB}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ см. Сумма высот $h_1 + h_2 = AB = \sqrt{2}$ см.

Объем

Объем $V$ тела вращения равен сумме объемов двух конусов. Формула объема конуса $V_{конуса} = \frac{1}{3}\pi r^2 h$. $V = V_1 + V_2 = \frac{1}{3}\pi r^2 h_1 + \frac{1}{3}\pi r^2 h_2 = \frac{1}{3}\pi r^2 (h_1 + h_2)$. Подставляем найденные значения: $r = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $h_1 + h_2 = \sqrt{2}$. $V = \frac{1}{3}\pi \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 \cdot \sqrt{2} = \frac{1}{3}\pi \cdot \frac{2}{4} \cdot \sqrt{2} = \frac{1}{3}\pi \cdot \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} = \frac{\pi\sqrt{2}}{6}$ см$^3$.
Ответ: $V = \frac{\pi\sqrt{2}}{6}$ см$^3$.

Площадь поверхности

Площадь поверхности $S$ тела вращения равна сумме площадей боковых поверхностей двух конусов. Общее основание находится внутри тела, поэтому его площадь не учитывается. Формула площади боковой поверхности конуса $S_{бок} = \pi r l$. $S = S_{бок1} + S_{бок2} = \pi r l_1 + \pi r l_2$. Поскольку образующие $l_1 = AC = 1$ и $l_2 = BC = 1$, получаем: $S = \pi r (l_1 + l_2) = \pi r (1 + 1) = 2\pi r$. Подставляем значение радиуса $r = \frac{\sqrt{2}}{2}$: $S = 2\pi \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \pi\sqrt{2}$ см$^2$.
Ответ: $S = \pi\sqrt{2}$ см$^2$.

8. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения равностороннего треугольника ABC со сторонами, равными 1 см, вокруг прямой AB.

Объем тела вращения

При вращении равностороннего треугольника ABC вокруг стороны AB образуется тело, состоящее из двух одинаковых конусов, соединенных общим основанием. Вершины этих конусов находятся в точках A и B, а общее основание — это окружность, которую описывает вершина C при вращении.

Пусть сторона треугольника $a = 1$ см. Радиус $r$ общего основания конусов равен высоте треугольника ABC, опущенной из вершины C на сторону AB. Для равностороннего треугольника со стороной $a$ высота $h$ вычисляется по формуле: $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Подставляя $a = 1$ см, получаем радиус: $r = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

Высота каждого из двух конусов $h_к$ равна половине стороны AB, так как высота в равностороннем треугольнике является и медианой. $h_к = \frac{a}{2} = \frac{1}{2}$ см.

Объем одного конуса $V_к$ вычисляется по формуле: $V_к = \frac{1}{3} \pi r^2 h_к$. Подставим найденные значения $r$ и $h_к$: $V_к = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{3} \pi \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3\pi}{24} = \frac{\pi}{8}$ см$^3$.

Общий объем тела вращения $V$ равен сумме объемов двух конусов: $V = 2 \cdot V_к = 2 \cdot \frac{\pi}{8} = \frac{\pi}{4}$ см$^3$.

Ответ: $\frac{\pi}{4}$ см$^3$.

Площадь поверхности тела вращения

Площадь поверхности тела вращения состоит из площадей боковых поверхностей двух конусов. Основания конусов являются внутренними для тела и в площадь его поверхности не входят.

Площадь боковой поверхности одного конуса $S_{бок}$ вычисляется по формуле: $S_{бок} = \pi r l$, где $r$ — радиус основания, а $l$ — длина образующей.

Из предыдущего пункта мы знаем радиус основания: $r = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см. Образующая $l$ каждого конуса — это сторона треугольника AC (для первого конуса) или BC (для второго конуса). Следовательно, $l = a = 1$ см.

Найдем площадь боковой поверхности одного конуса: $S_{бок} = \pi \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 = \frac{\pi\sqrt{3}}{2}$ см$^2$.

Полная площадь поверхности тела вращения $S$ равна сумме площадей боковых поверхностей двух конусов: $S = 2 \cdot S_{бок} = 2 \cdot \frac{\pi\sqrt{3}}{2} = \pi\sqrt{3}$ см$^2$.

Ответ: $\pi\sqrt{3}$ см$^2$.

9. В равнобедренном треугольнике ABC $AC = BC = 1$, $\angle C = 120^\circ$. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения этого треугольника вокруг прямой AB.

Тело, полученное при вращении равнобедренного треугольника ABC вокруг его основания AB, представляет собой два одинаковых конуса, соединенных своими основаниями. Осью вращения является прямая AB.

Проведем высоту CH из вершины C на основание AB. Так как треугольник ABC равнобедренный, высота CH, проведенная к основанию, является также медианой и биссектрисой. Следовательно, точка H делит основание AB пополам, а угол C делится на два равных угла: $\angle ACH = \angle BCH = \frac{\angle C}{2} = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$.

Тело вращения состоит из двух конусов, образованных вращением прямоугольных треугольников ACH и BCH вокруг катетов AH и BH соответственно. Найдем параметры этих конусов. Рассмотрим прямоугольный треугольник ACH:
- Образующая конуса $l$ равна гипотенузе AC: $l = AC = 1$.
- Радиус основания конуса $r$ равен катету CH. $r = CH = AC \cdot \cos(\angle ACH) = 1 \cdot \cos(60^\circ) = 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
- Высота конуса $h$ равна катету AH. $h = AH = AC \cdot \sin(\angle ACH) = 1 \cdot \sin(60^\circ) = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Объем

Объем тела вращения $V$ равен сумме объемов двух одинаковых конусов. Объем одного конуса вычисляется по формуле $V_{конуса} = \frac{1}{3}\pi r^2 h$.
$V = 2 \cdot V_{конуса} = 2 \cdot \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{2}{3}\pi \left(\frac{1}{2}\right)^2 \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{2}{3}\pi \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2\pi\sqrt{3}}{24} = \frac{\pi\sqrt{3}}{12}$.
Ответ: $\frac{\pi\sqrt{3}}{12}$.

Площадь поверхности

Площадь поверхности тела вращения $S$ состоит из суммы площадей боковых поверхностей двух конусов. Основания конусов находятся внутри тела и не учитываются. Площадь боковой поверхности одного конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi r l$.
$S = 2 \cdot S_{бок} = 2 \cdot \pi r l = 2 \pi \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 = \pi$.
Ответ: $\pi$.

10. В прямоугольном треугольнике ABC $AC = 3$, $BC = 4$, $\angle C = 90^\circ$.

Найдите объем и площадь поверхности тела вращения этого треугольника вокруг прямой AB.

Тело, полученное при вращении прямоугольного треугольника ABC вокруг гипотенузы AB, представляет собой два конуса, соединенных общими основаниями. Вершины этих конусов находятся в точках A и B. Для нахождения объема и площади поверхности этого тела необходимо определить его ключевые параметры.

1. Найдем длину гипотенузы AB по теореме Пифагора. Длина гипотенузы равна сумме высот двух конусов, образующих тело вращения. $AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

2. Радиусом ($r$) общего основания конусов является высота CH, проведенная из вершины прямого угла C к гипотенузе AB. Найдем длину этой высоты, используя метод площадей для треугольника ABC. Площадь треугольника, вычисленная через катеты: $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6$. Та же площадь, вычисленная через гипотенузу и высоту к ней: $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH$. Приравняв два выражения для площади, получим: $\frac{1}{2} \cdot 5 \cdot CH = 6$, откуда $CH = \frac{12}{5} = 2.4$. Таким образом, радиус основания конусов $r = \frac{12}{5}$.

3. Образующими ($l_1$ и $l_2$) боковых поверхностей конусов являются катеты исходного треугольника: $l_1 = AC = 3$ и $l_2 = BC = 4$.

Объем тела вращения

Объем ($V$) тела вращения равен сумме объемов двух конусов. Пусть высоты конусов равны $h_1 = AH$ и $h_2 = BH$. $V = V_1 + V_2 = \frac{1}{3}\pi r^2 h_1 + \frac{1}{3}\pi r^2 h_2 = \frac{1}{3}\pi r^2 (h_1 + h_2)$. Поскольку $h_1 + h_2 = AH + BH = AB$, формула для общего объема выглядит так: $V = \frac{1}{3}\pi r^2 \cdot AB$. Подставим известные значения: $V = \frac{1}{3}\pi \left(\frac{12}{5}\right)^2 \cdot 5 = \frac{1}{3}\pi \cdot \frac{144}{25} \cdot 5 = \frac{144\pi \cdot 5}{3 \cdot 25} = \frac{48\pi}{5}$.
Ответ: $V = \frac{48\pi}{5}$.

Площадь поверхности тела вращения

Площадь поверхности ($S$) тела вращения складывается из площадей боковых поверхностей двух конусов. Общее основание находится внутри тела, поэтому его площадь в расчете не участвует. $S = S_{бок1} + S_{бок2} = \pi r l_1 + \pi r l_2 = \pi r (l_1 + l_2)$. Подставим значения радиуса и образующих: $S = \pi \cdot \frac{12}{5} \cdot (3 + 4) = \pi \cdot \frac{12}{5} \cdot 7 = \frac{84\pi}{5}$.
Ответ: $S = \frac{84\pi}{5}$.

11. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения ромба ABCD со сторонами, равными 1 см, и острым углом $60^\circ$, вокруг прямой AC.

Тело вращения, которое образуется при вращении ромба ABCD вокруг его большой диагонали AC, состоит из двух одинаковых конусов, соединенных своими основаниями.

Для решения задачи найдем параметры этих конусов.

1. Сторона ромба дана и равна $a = 1$ см. При вращении сторона ромба становится образующей $l$ конуса. Таким образом, $l = 1$ см.

2. Острый угол ромба равен $60^{\circ}$. Пусть $\angle BAD = 60^{\circ}$. Рассмотрим треугольник ABD. Он является равнобедренным, так как $AB = AD = 1$ см (стороны ромба). Угол между этими сторонами равен $60^{\circ}$, следовательно, треугольник ABD является равносторонним. Это означает, что меньшая диагональ ромба $BD$ также равна 1 см.

3. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся точкой пересечения (назовем ее O) пополам. Радиус $R$ общего основания двух конусов равен половине меньшей диагонали $BD$.

$R = BO = \frac{1}{2}BD = \frac{1}{2} \cdot 1 = 0.5$ см.

4. Высота $h$ каждого из конусов равна половине большей диагонали $AC$. Найдем длину $AO$ из прямоугольного треугольника $AOB$, используя теорему Пифагора ($AB$ - гипотенуза, $AO$ и $BO$ - катеты):

$h = AO = \sqrt{AB^2 - BO^2} = \sqrt{1^2 - (0.5)^2} = \sqrt{1 - 0.25} = \sqrt{0.75} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

Теперь у нас есть все необходимые данные для вычисления объема и площади поверхности тела вращения.

Объем

Объем тела вращения $V$ равен сумме объемов двух одинаковых конусов. Формула для объема одного конуса: $V_{конуса} = \frac{1}{3}\pi R^2 h$.

Общий объем $V$ будет:

$V = 2 \cdot V_{конуса} = 2 \cdot \left(\frac{1}{3}\pi R^2 h\right) = 2 \cdot \frac{1}{3}\pi \left(\frac{1}{2}\right)^2 \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{2}{3}\pi \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2\pi\sqrt{3}}{24} = \frac{\pi\sqrt{3}}{12}$ см$^3$.

Ответ: Объем тела вращения равен $\frac{\pi\sqrt{3}}{12}$ см$^3$.

Площадь поверхности

Площадь поверхности тела вращения $S$ равна сумме площадей боковых поверхностей двух конусов. Основания конусов находятся внутри тела и не являются частью его внешней поверхности.

Формула площади боковой поверхности конуса: $S_{бок} = \pi R l$.

Общая площадь поверхности $S$ будет:

$S = 2 \cdot S_{бок} = 2 \cdot (\pi R l) = 2 \cdot \pi \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 = \pi$ см$^2$.

Ответ: Площадь поверхности тела вращения равна $\pi$ см$^2$.

12. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения ромба ABCD со сторонами, равными 1 см, и острым углом $60^\circ$, вокруг прямой BD.

При вращении ромба $ABCD$ вокруг его диагонали $BD$ образуется тело вращения, которое состоит из двух одинаковых конусов, соединенных своими основаниями. Ось вращения $BD$ является высотой для каждого конуса (разделенной пополам в точке пересечения диагоналей), а другая диагональ $AC$ при вращении формирует общее основание — круг. Образующей каждого конуса является сторона ромба.

Даны параметры ромба: сторона $a = 1$ см и острый угол $\angle A = 60^\circ$. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Также они являются биссектрисами углов ромба.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AOB$. Гипотенуза $AB$ — это сторона ромба, которая будет являться образующей конуса $l = 1$ см. Найдем углы этого треугольника. Угол $\angle OAB = \frac{1}{2} \angle A = \frac{1}{2} \cdot 60^\circ = 30^\circ$. Сумма углов ромба, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$, поэтому тупой угол $\angle B = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. Следовательно, $\angle ABO = \frac{1}{2} \angle B = \frac{1}{2} \cdot 120^\circ = 60^\circ$.

Теперь можем найти катеты треугольника $\triangle AOB$, которые являются радиусом $r$ основания конуса и высотой $h$ одного конуса:

• Радиус основания: $r = AO = AB \cdot \sin(\angle ABO) = 1 \cdot \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.
• Высота одного конуса: $h = BO = AB \cdot \cos(\angle ABO) = 1 \cdot \cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$ см.
• Образующая конуса: $l = AB = 1$ см.

Объем тела вращения

Объем $V$ всего тела вращения равен сумме объемов двух одинаковых конусов. Формула объема одного конуса: $V_{конуса} = \frac{1}{3}\pi r^2 h$. $V = 2 \cdot V_{конуса} = 2 \cdot \frac{1}{3}\pi r^2 h$. Подставим найденные значения $r$ и $h$: $V = 2 \cdot \frac{1}{3}\pi \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 \cdot \frac{1}{2} = \frac{2}{3}\pi \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{6\pi}{24} = \frac{\pi}{4}$ см$^3$.
Ответ: Объем тела вращения равен $\frac{\pi}{4}$ см$^3$.

Площадь поверхности тела вращения

Площадь поверхности $S$ тела вращения состоит из площадей боковых поверхностей двух конусов. Общее основание находится внутри тела, поэтому его площадь не учитывается. Формула площади боковой поверхности конуса: $S_{бок.} = \pi r l$. $S = 2 \cdot S_{бок.} = 2 \cdot \pi r l$. Подставим значения $r$ и $l$: $S = 2 \cdot \pi \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 = \pi\sqrt{3}$ см$^2$.
Ответ: Площадь поверхности тела вращения равна $\pi\sqrt{3}$ см$^2$.

13. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения равнобедренной трапеции $ABCD$ с боковыми сторонами $AD$ и $BC$, равными 1 см, и основаниями $AB$ и $CD$, равными соответственно 2 см и 1 см, вокруг прямой $AB$.

По условию дана равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AB = 2$ см и $CD = 1$ см и боковыми сторонами $AD = BC = 1$ см. Трапеция вращается вокруг прямой, содержащей большее основание $AB$.

Тело, полученное в результате вращения, представляет собой комбинацию трех тел: одного цилиндра и двух одинаковых конусов, приставленных к основаниям цилиндра. Чтобы найти объем и площадь поверхности этого тела, сперва определим его основные параметры.

Проведем из вершин $C$ и $D$ высоты $CK$ и $DM$ на основание $AB$. Так как трапеция равнобедренная, а $CD$ параллельно $AB$, то фигура $CDMK$ является прямоугольником. Следовательно, $MK = CD = 1$ см.

Прямоугольные треугольники $\triangle ADM$ и $\triangle BCK$ равны по гипотенузе и катету ($AD=BC$ и $DM=CK$). Значит, $AM = BK$.

Длина основания $AB$ равна сумме длин отрезков: $AB = AM + MK + KB$.

Подставим известные значения: $2 = AM + 1 + AM$, откуда $2 \cdot AM = 1$, и $AM = 0.5$ см.

Теперь найдем высоту трапеции $h = DM$ из прямоугольного треугольника $\triangle ADM$ по теореме Пифагора:

$DM^2 = AD^2 - AM^2$

$h^2 = 1^2 - (0.5)^2 = 1 - 0.25 = 0.75$

$h = \sqrt{0.75} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

Эта высота является радиусом оснований как для цилиндра, так и для конусов: $r = h = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

Высота цилиндра, образованного вращением прямоугольника $CDMK$, равна $H_{цил} = MK = 1$ см.

Высота каждого из конусов, образованных вращением треугольников $\triangle ADM$ и $\triangle BCK$, равна $H_{кон} = AM = 0.5$ см.

Образующая каждого конуса равна боковой стороне трапеции: $l = AD = 1$ см.

Объем

Общий объем тела вращения $V$ равен сумме объема цилиндра $V_{цил}$ и объемов двух конусов $2 \cdot V_{кон}$.

$V = V_{цил} + 2 \cdot V_{кон}$

Объем цилиндра вычисляется по формуле $V_{цил} = \pi r^2 H_{цил}$:

$V_{цил} = \pi \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 \cdot 1 = \pi \cdot \frac{3}{4} = \frac{3\pi}{4}$ см³.

Объем одного конуса вычисляется по формуле $V_{кон} = \frac{1}{3} \pi r^2 H_{кон}$:

$V_{кон} = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 \cdot 0.5 = \frac{1}{3} \pi \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3\pi}{24} = \frac{\pi}{8}$ см³.

Суммарный объем:

$V = \frac{3\pi}{4} + 2 \cdot \frac{\pi}{8} = \frac{3\pi}{4} + \frac{2\pi}{8} = \frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = \frac{4\pi}{4} = \pi$ см³.

Ответ: объем тела вращения равен $\pi$ см³.

Площадь поверхности

Площадь поверхности тела вращения $S$ состоит из площади боковой поверхности цилиндра $S_{бок.цил}$ и площадей боковых поверхностей двух конусов $2 \cdot S_{бок.кон}$. Основания цилиндра и конусов находятся внутри тела и в общую площадь поверхности не входят.

$S = S_{бок.цил} + 2 \cdot S_{бок.кон}$

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле $S_{бок.цил} = 2 \pi r H_{цил}$:

$S_{бок.цил} = 2 \pi \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 = \pi\sqrt{3}$ см².

Площадь боковой поверхности одного конуса вычисляется по формуле $S_{бок.кон} = \pi r l$:

$S_{бок.кон} = \pi \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 = \frac{\pi\sqrt{3}}{2}$ см².

Суммарная площадь поверхности:

$S = \pi\sqrt{3} + 2 \cdot \frac{\pi\sqrt{3}}{2} = \pi\sqrt{3} + \pi\sqrt{3} = 2\pi\sqrt{3}$ см².

Ответ: площадь поверхности тела вращения равна $2\pi\sqrt{3}$ см².

14. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения прямоугольной трапеции $ABCD$ с основаниями $AB$ и $CD$, равными соответственно 2 см и 1 см, меньшей боковой стороной, равной 1 см, вокруг прямой $AB$.

Пусть дана прямоугольная трапеция $ABCD$, у которой основания $AB$ и $CD$ параллельны, а одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям. Пусть этой стороной будет $AD$. Тогда $AD$ является высотой трапеции.

По условию, основания равны $AB = 2$ см и $CD = 1$ см. Меньшая боковая сторона равна 1 см. Сравним длины боковых сторон $AD$ и $BC$.

Проведем из вершины $C$ высоту $CH$ на основание $AB$. Так как $AD$ перпендикулярна $AB$ и $CD$ параллельна $AB$, фигура $AHCD$ является прямоугольником. Следовательно, $AH = CD = 1$ см и $CH = AD$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $CHB$. Катет $HB = AB - AH = 2 - 1 = 1$ см. Катет $CH$ равен высоте трапеции $AD$. Гипотенуза $BC$ (вторая боковая сторона) по теореме Пифагора равна $BC = \sqrt{CH^2 + HB^2} = \sqrt{AD^2 + 1^2}$.

Поскольку $AD$ — меньшая боковая сторона, ее длина должна быть меньше длины $BC$. Если предположить, что $AD = 1$ см, то $BC = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ см. Так как $1 < \sqrt{2}$, наше предположение верно. Таким образом, высота трапеции $h = AD = 1$ см.

Тело вращения образуется при вращении трапеции $ABCD$ вокруг большего основания $AB$. Это тело можно представить как комбинацию двух более простых тел:

• Цилиндра, образованного вращением прямоугольника $AHCD$ вокруг стороны $AH$.
• Конуса, образованного вращением прямоугольного треугольника $CHB$ вокруг катета $HB$.

Найдем объем тела вращения

Общий объем тела вращения $V$ равен сумме объема цилиндра $V_{цил}$ и объема конуса $V_{кон}$.

Объем цилиндра вычисляется по формуле $V_{цил} = \pi r^2 h_{цил}$. Радиус основания цилиндра $r$ равен высоте трапеции $AD$, а высота цилиндра $h_{цил}$ равна стороне $AH$.
$r = AD = 1$ см
$h_{цил} = AH = 1$ см
$V_{цил} = \pi \cdot 1^2 \cdot 1 = \pi$ см$^3$.

Объем конуса вычисляется по формуле $V_{кон} = \frac{1}{3} \pi r^2 h_{кон}$. Радиус основания конуса $r$ равен высоте $CH$, а высота конуса $h_{кон}$ равна отрезку $HB$.
$r = CH = 1$ см
$h_{кон} = HB = 1$ см
$V_{кон} = \frac{1}{3} \pi \cdot 1^2 \cdot 1 = \frac{\pi}{3}$ см$^3$.

Суммарный объем тела вращения:
$V = V_{цил} + V_{кон} = \pi + \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi + \pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$ см$^3$.

Ответ: Объем тела вращения равен $\frac{4\pi}{3}$ см$^3$.

Найдем площадь поверхности тела вращения

Полная площадь поверхности тела вращения $S$ состоит из трех частей:

1. Площади основания цилиндра $S_{осн}$ (круг, образованный вращением стороны $AD$).
2. Площади боковой поверхности цилиндра $S_{бок.цил}$ (образована вращением стороны $CD$).
3. Площади боковой поверхности конуса $S_{бок.кон}$ (образована вращением стороны $BC$).

1. Площадь основания цилиндра (круга с радиусом $r=AD=1$ см):
$S_{осн} = \pi r^2 = \pi \cdot 1^2 = \pi$ см$^2$.

2. Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле $S_{бок.цил} = 2\pi r l$, где $r$ - радиус цилиндра, а $l$ - его образующая (в данном случае длина $CD$).
$r = AD = 1$ см
$l = CD = 1$ см
$S_{бок.цил} = 2\pi \cdot 1 \cdot 1 = 2\pi$ см$^2$.

3. Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{бок.кон} = \pi r L$, где $r$ - радиус основания конуса, а $L$ - длина его образующей (сторона $BC$).
$r = CH = 1$ см
$L = BC = \sqrt{2}$ см
$S_{бок.кон} = \pi \cdot 1 \cdot \sqrt{2} = \pi\sqrt{2}$ см$^2$.

Суммарная площадь поверхности тела вращения:
$S = S_{осн} + S_{бок.цил} + S_{бок.кон} = \pi + 2\pi + \pi\sqrt{2} = 3\pi + \pi\sqrt{2} = \pi(3 + \sqrt{2})$ см$^2$.

Ответ: Площадь поверхности тела вращения равна $\pi(3 + \sqrt{2})$ см$^2$.

15. В равнобедренном треугольнике $ABC$ $AC = BC = 1$, $\angle C = 120^\circ$.

Найдите объем и площадь поверхности тела вращения этого треугольника вокруг прямой $AC$.

Тело вращения, которое образуется при вращении равнобедренного треугольника $ABC$ вокруг прямой $AC$, представляет собой фигуру, состоящую из двух конусов с общим основанием. Поскольку угол при вершине $C$ тупой ($\angle C = 120^\circ$), высота $BH$, опущенная из вершины $B$ на прямую $AC$, пересекает продолжение стороны $AC$ за точкой $C$.

В результате вращения треугольника $ABC$ вокруг прямой $AC$ образуется тело, объем которого равен разности объемов двух конусов. Больший конус образуется вращением прямоугольного треугольника $ABH$ вокруг катета $AH$, а меньший — вращением прямоугольного треугольника $CBH$ вокруг катета $CH$. Площадь поверхности этого тела равна сумме площадей боковых поверхностей этих двух конусов.

Для начала найдем параметры этих конусов. Рассмотрим прямоугольный треугольник $BHC$. Угол $\angle BCH$ является смежным с углом $\angle BCA$, следовательно, $\angle BCH = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$. В этом треугольнике гипотенуза $BC = 1$.

Радиус $r$ общего основания конусов равен длине катета $BH$:
$r = BH = BC \cdot \sin(\angle BCH) = 1 \cdot \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Высота меньшего конуса $h_1$ равна длине катета $CH$:
$h_1 = CH = BC \cdot \cos(\angle BCH) = 1 \cdot \cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$.

Высота большего конуса $h_2$ равна длине катета $AH$:
$h_2 = AH = AC + CH = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.

Образующая меньшего конуса $l_1$ — это сторона $BC$, то есть $l_1 = 1$.

Образующая большего конуса $l_2$ — это сторона $AB$. Найдем ее длину по теореме косинусов для треугольника $ABC$:
$AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos(\angle C)$
$l_2^2 = AB^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos(120^\circ) = 1 + 1 - 2 \cdot (-\frac{1}{2}) = 2 + 1 = 3$
$l_2 = AB = \sqrt{3}$.

Теперь, имея все необходимые размеры, можно вычислить объем и площадь поверхности тела вращения.

Объем

Объем тела вращения $V$ равен разности объемов большего конуса ($V_2$) и меньшего конуса ($V_1$). Формула объема конуса: $V_{конуса} = \frac{1}{3}\pi r^2 h$.
$V = V_2 - V_1 = \frac{1}{3}\pi r^2 h_2 - \frac{1}{3}\pi r^2 h_1 = \frac{1}{3}\pi r^2 (h_2 - h_1)$.
Подставим найденные значения:
$V = \frac{1}{3}\pi \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 \left(\frac{3}{2} - \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{3}\pi \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{2} = \frac{1}{3}\pi \cdot \frac{3}{4} \cdot 1 = \frac{\pi}{4}$.
Ответ: объем тела вращения равен $\frac{\pi}{4}$.

Площадь поверхности

Площадь поверхности тела вращения $S$ складывается из площадей боковых поверхностей большего ($S_{бок2}$) и меньшего ($S_{бок1}$) конусов. Формула площади боковой поверхности конуса: $S_{бок} = \pi r l$.
$S = S_{бок2} + S_{бок1} = \pi r l_2 + \pi r l_1 = \pi r (l_2 + l_1)$.
Подставим известные значения:
$S = \pi \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} (\sqrt{3} + 1) = \frac{\pi\sqrt{3}(\sqrt{3} + 1)}{2} = \frac{\pi(3 + \sqrt{3})}{2}$.
Ответ: площадь поверхности тела вращения равна $\frac{\pi(3 + \sqrt{3})}{2}$.