Номер 4, страница 109 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

4. В равнобедренном треугольнике ABC $AC = BC = 1$, $\angle C = 120^\circ$, $CH$ - высота. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения этого треугольника вокруг прямой $CH$.

При вращении равнобедренного треугольника $ABC$ вокруг своей высоты $CH$, проведенной из вершины $C$ к основанию $AB$, образуется тело вращения, представляющее собой конус. Вершина этого конуса будет в точке $C$, высота конуса $h$ будет равна длине высоты $CH$, радиус основания конуса $r$ будет равен половине длины основания треугольника (т.е. $AH$), а образующая конуса $l$ будет равна боковой стороне треугольника ($AC$ или $BC$).

Из условия задачи нам даны:

Длина боковых сторон, которая является образующей конуса: $l = AC = BC = 1$.

Угол при вершине: $\angle C = 120^{\circ}$.

В равнобедренном треугольнике высота $CH$ является также биссектрисой и медианой. Следовательно, она делит угол $\angle C$ пополам. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACH$ (где $\angle AHC = 90^{\circ}$).

Угол $\angle ACH = \frac{1}{2} \angle C = \frac{120^{\circ}}{2} = 60^{\circ}$.

Теперь мы можем найти высоту конуса $h$ и радиус его основания $r$, используя тригонометрические функции в треугольнике $ACH$:

Высота конуса: $h = CH = AC \cdot \cos(\angle ACH) = 1 \cdot \cos(60^{\circ}) = 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

Радиус основания конуса: $r = AH = AC \cdot \sin(\angle ACH) = 1 \cdot \sin(60^{\circ}) = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Теперь у нас есть все необходимые параметры конуса для вычислений: $h = 1/2$, $r = \sqrt{3}/2$, $l=1$.

Объем тела вращения

Объем конуса вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$. Подставим найденные значения $r$ и $h$:

$V = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{3} \pi \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3\pi}{24} = \frac{\pi}{8}$.

Ответ: $V = \frac{\pi}{8}$.

Площадь поверхности тела вращения

Площадь полной поверхности конуса ($S$) складывается из площади основания ($S_{осн}$) и площади боковой поверхности ($S_{бок}$). Формула для полной площади поверхности: $S = S_{осн} + S_{бок} = \pi r^2 + \pi r l$.

Подставим известные значения $r$ и $l$:

$S = \pi \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \pi \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 = \pi \cdot \frac{3}{4} + \frac{\pi\sqrt{3}}{2}$.

Приведем дроби к общему знаменателю:

$S = \frac{3\pi}{4} + \frac{2\pi\sqrt{3}}{4} = \frac{3\pi + 2\pi\sqrt{3}}{4} = \frac{\pi(3 + 2\sqrt{3})}{4}$.

Ответ: $S = \frac{\pi(3 + 2\sqrt{3})}{4}$.